Água escoa em um tubo de 4 cm de diâmetro a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O tubo se divide em dols, um com 2 cm de diâmetro e outro com 3 cm de diâmetro. Se 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} escoam no tubo de 2 cm de diâmetro, qual é a vazão mássica no tubo de 3 cm de diâmetro? (2 pontos)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com as conversões para SI (pegue estes números do enunciado).
  • Diâmetro do tubo de entrada: d_1 = 4\\ \mathrm{cm} = 0,04\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade no tubo de entrada: V_1 = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • O tubo divide-se em dois ramos:
    • Ramo 2: diâmetro d_2 = 2\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}. A vazão mássica nesse ramo é \dot m_2 = 10\\ \mathrm{kg/s} (dado).
    • Ramo 3: diâmetro d_3 = 3\\ \mathrm{cm} = 0,03\\ \mathrm{m}. A vazão mássica \dot m_3 é a incógnita.
  • O que o problema pede: encontrar \dot m_3, a vazão mássica no tubo de 3\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Conservação de massa (continuidade) para escoamento incompressível diz que a vazão mássica de entrada é a soma das vazões mássicas dos ramos:
\dot m_1=\dot m_2+\dot m_3.
A relação entre vazão mássica, densidade, área e velocidade é
\dot m=\rho A V,
onde:
  • \dot m é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • A é a área da seção transversal ( \mathrm{m^2}),
  • V é a velocidade média do fluido ( \mathrm{m/s}).
Para água líquida, vamos usar a densidade padrão
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
(Isto é uma hipótese usual em problemas de escoamento de água; se a densidade fosse diferente, deveria ser fornecida.)

Passo 3

Calcular as áreas das seções circulares usando A=\dfrac{\pi d^2}{4}. Primeiro a área do tubo de entrada ( d_1=0,04\\ \mathrm{m}):
A_1=\dfrac{\pi d_1^2}{4}=\dfrac{\pi (0,04)^2}{4}=\pi\cdot 0,0004=0,0004\pi\\ \mathrm{m^2}.
Se for útil, o valor numérico aproximado é
A_1\approx 0,0004\pi\approx 0,0012566\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica no tubo de entrada \dot Q_1 e depois a vazão mássica \dot m_1.
\dot Q_1 = A_1 V_1 = 0,0004\pi \cdot 20 = 0,008\pi\\ \mathrm{m^3/s}.
Valor numérico aproximado:
\dot Q_1 \approx 0,008\pi \approx 0,0251327\\ \mathrm{m^3/s}.
Agora a vazão mássica de entrada:
\dot m_1 = \rho \dot Q_1 = 1000 \cdot 0,008\pi = 8\pi\\ \mathrm{kg/s}.
Valor numérico aproximado:
\dot m_1 \approx 8\pi \approx 25,1327\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Usar conservação de massa \dot m_1=\dot m_2+\dot m_3 para achar \dot m_3:
\dot m_3=\dot m_1-\dot m_2 = 8\pi - 10\\ \mathrm{kg/s}.
Valor numérico aproximado:
\dot m_3 \approx 25,1327 - 10 = 15,1327\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, mas didática): calcular a vazão volumétrica do ramo 2 a partir de \dot m_2 e densidade, e subtrair de \dot Q_1 para obter \dot Q_3, depois multiplicar por \rho:
\dot Q_2=\dfrac{\dot m_2}{\rho}=\dfrac{10}{1000}=0,01\\ \mathrm{m^3/s}.
\dot Q_3=\dot Q_1-\dot Q_2=0,008\pi-0,01\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0,0251327-0,01=0,0151327\\ \mathrm{m^3/s}.
\dot m_3=\rho \dot Q_3 = 1000\cdot 0,0151327 \approx 15,1327\\ \mathrm{kg/s},
que coincide com o resultado anterior (boa checagem).

Resposta

\dot m_3 \approx 15{,}13\\ \mathrm{kg/s}

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