Negue as seguintes sentenças lógicas:
(\neg r \rightarrow q) \wedge p

Passo 1

O enunciado pede que eu negue a sentença lógica
(\neg r \rightarrow q) \wedge p.
Informações dadas:
  • A fórmula a negar é (\neg r \rightarrow q) \wedge p.
  • Quero uma fórmula logicamente equivalente à negação dessa sentença.

Passo 2

Antes de começar, vamos rever duas regras fundamentais (explicadas de forma simples):
  • Regra de De Morgan para negação de conjunção: negar uma conjunção é a disjunção das negações. Em símbolos:
\neg(A \wedge B)\equiv \neg A \vee \neg B.
Isto significa: “não (A e B)” é equivalente a “(não A) ou (não B)”.
  • Negação de uma implicação: uma implicação A\rightarrow B é equivalente a \neg A \vee B. Assim, a negação de uma implicação vale
\neg(A\rightarrow B)\equiv A\wedge \neg B.
Intuição rápida: A\rightarrow B só é falsa quando A é verdadeira e B é falsa; portanto a negação pede exatamente isso.

Passo 3

Agora aplico a negação na fórmula inteira e uso De Morgan para a conjunção:
\neg\bigl((\neg r \rightarrow q)\wedge p\bigr)\equiv \neg(\neg r \rightarrow q)\vee \neg p.
Explicando: neguei a conjunção e transformei em uma disjunção das negações dos dois termos.

Passo 4

Nego agora a implicação interna usando a regra da implicação:
\neg(\neg r \rightarrow q)\equiv (\neg r)\wedge \neg q.
Portanto, substituindo na expressão do passo anterior, obtenho
\neg\bigl((\neg r \rightarrow q)\wedge p\bigr)\equiv (\neg r \wedge \neg q)\vee \neg p.

Passo 5

Posso reescrever a resposta em formas equivalentes úteis:
  • Forma disjuntiva direta:
(\neg r \wedge \neg q)\vee \neg p.
  • Ou, colocando \neg p primeiro:
\neg p \vee (\neg r \wedge \neg q).
  • Se quiser em forma conjuntiva normal (CNF), distribuo a disjunção sobre a conjunção:
(\neg p \vee \neg r)\wedge (\neg p \vee \neg q).
Todas as formas acima são logicamente equivalentes à negação pedida.

Passo 6

Para ganhar confiança, faço uma checagem rápida com valores:
  • Se p=\text{V}, r=\text{F}, q=\text{V}: a fórmula original vale V, então a negação deve valer F. Avaliando (\neg r\wedge\neg q)\vee\neg p obtemos (\text{V}\wedge\text{F})\vee\text{F}=\text{F}, ok.
  • Se p=\text{F}, r=\text{V}, q=\text{V}: a original vale F, negação deve valer V. Avaliando (\neg r\wedge\neg q)\vee\neg p obtemos (\text{F}\wedge\text{F})\vee\text{V}=\text{V}, ok.

Resposta

(\neg r \wedge \neg q)\vee \neg p

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