Encontre uma equação para a superfície de nível da função que passa pelo ponto dado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e um ponto, e pede uma equação para a superfície de nível de
que passa por esse ponto. Informações dadas:
- A função é
. - O ponto é
.
O que se pede: - Encontrar a equação da superfície de nível de
que contém o ponto dado (ou seja, a superfície onde tem o mesmo valor que em ).
Informações relevantes sobre domínio (muito importantes para a superfície):
- A expressão
exige que . - A expressão
exige que .
Anotar essas restrições ajuda a garantir que a superfície encontrada seja válida.
Passo 2
Calcular o valor de
no ponto dado para saber qual nível devemos igualar. Avaliando termo a termo:
Portanto,
Isso significa que a superfície de nível procurada é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 3
Escrever a equação do nível usando o valor encontrado:
Essa já é uma equação válida da superfície de nível que passa por
. Não esquecer as restrições de domínio:
e
.
Passo 4
Se quiser uma forma algébrica explícita sem raiz, isolar a raiz e elevar ao quadrado com cuidado:
Primeiro isolar:
Primeiro isolar:
Agora elevar ambos os lados ao quadrado. Antes de fazer isso, lembrar que
, então a operação será legítima apenas se o lado direito também for não negativo; isto é, precisamos de
. Fazendo o quadrado:
Condições que acompanham essa forma algébrica:
-
(para existir), -
, que equivale a e, portanto, , - implicitamente
(já garantido pela igualdade à expressão quadrada, que é ).
Observação importante sobre o processo: ao elevar ao quadrado pode-se introduzir soluções falsas se o membro direito fosse negativo. Por isso foi preciso exigir
. Com essa restrição, não há introdução de soluções extranhas.
Passo 5
Verificação rápida de que o ponto dado pertence à superfície na forma final:
- Para
: . - Para
: .
Portanto, o ponto está na superfície, tudo consistente. Força aí — a superfície está correta e o ponto pertence a ela!