Encontre uma equação para a superfície de nível da função que passa pelo ponto dado.
f(x, y, z)=\sqrt{x-y}-\ln (z), \quad(3,-1,1)

Passo 1

O enunciado dá a função f e um ponto, e pede uma equação para a superfície de nível de f que passa por esse ponto. Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=\sqrt{x-y}-\ln(z).
  • O ponto é (3,-1,1).
    O que se pede:
  • Encontrar a equação da superfície de nível de f que contém o ponto dado (ou seja, a superfície onde f tem o mesmo valor que em (3,-1,1)).
Informações relevantes sobre domínio (muito importantes para a superfície):
  • A expressão \sqrt{x-y} exige que x-y\ge 0.
  • A expressão \ln(z) exige que z>0.
    Anotar essas restrições ajuda a garantir que a superfície encontrada seja válida.

Passo 2

Calcular o valor de f no ponto dado para saber qual nível devemos igualar. Avaliando termo a termo:
\sqrt{3-(-1)}=\sqrt{4}=2,
\ln(1)=0.
Portanto,
f(3,-1,1)=2-0=2.
Isso significa que a superfície de nível procurada é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que f(x,y,z)=2.

Passo 3

Escrever a equação do nível usando o valor encontrado:
\sqrt{x-y}-\ln(z)=2.
Essa já é uma equação válida da superfície de nível que passa por (3,-1,1). Não esquecer as restrições de domínio: x-y\ge 0 e z>0.

Passo 4

Se quiser uma forma algébrica explícita sem raiz, isolar a raiz e elevar ao quadrado com cuidado:
Primeiro isolar:
\sqrt{x-y}=2+\ln(z).
Agora elevar ambos os lados ao quadrado. Antes de fazer isso, lembrar que \sqrt{x-y}\ge0, então a operação será legítima apenas se o lado direito também for não negativo; isto é, precisamos de 2+\ln(z)\ge0. Fazendo o quadrado:
x-y=(2+\ln(z))^{2}.
Condições que acompanham essa forma algébrica:
  • z>0 (para \ln(z) existir),
  • 2+\ln(z)\ge0, que equivale a \ln(z)\ge -2 e, portanto, z\ge e^{-2},
  • implicitamente x-y\ge0 (já garantido pela igualdade à expressão quadrada, que é \ge0).
Observação importante sobre o processo: ao elevar ao quadrado pode-se introduzir soluções falsas se o membro direito fosse negativo. Por isso foi preciso exigir 2+\ln(z)\ge0. Com essa restrição, não há introdução de soluções extranhas.

Passo 5

Verificação rápida de que o ponto dado pertence à superfície na forma final:
  • Para (3,-1,1): x-y=3-(-1)=4.
  • Para z=1: (2+\ln(1))^{2}=(2+0)^{2}=4.
    Portanto 4=4, o ponto está na superfície, tudo consistente. Força aí — a superfície está correta e o ponto pertence a ela!

Resposta

\sqrt{x-y}-\ln(z)=2
x-y=(2+\ln(z))^{2},\quad z\ge e^{-2}

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