Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
Passo 1
O enunciado pede: negar a sentença lógica dada. A sentença fornecida é
Ou seja, foi dada a afirmação “existe algum
tal que
e
são verdadeiros simultaneamente”. A tarefa é escrever a negação dessa afirmação de forma logicamente equivalente.
Passo 2
Vamos lembrar duas regras fundamentais que usaremos.
- Regra de negação de quantificadores: a negação de uma existência vira uma universal com negação interna, e vice-versa. Formalmente,
Explicação intuitiva: dizer "não existe
com
" é o mesmo que "para todo
, não
".
- Leis de De Morgan para conectivos lógicos: a negação de uma conjunção vira uma disjunção das negações, e a negação de uma disjunção vira uma conjunção das negações. Formalmente,
Também usaremos a dupla negação:
.
Passo 3
Aplicando a regra de negação de quantificadores à sentença original. Negamos toda a fórmula com o quantificador existencial:
Aqui foi usado que a negação de
é
. Note que a negação passou para dentro, ficando aplicada à fórmula
.
Passo 4
Agora usamos De Morgan para distribuir a negação sobre a conjunção interna. Tomando
e
, temos
Portanto, substituindo na expressão com o quantificador, obtemos
Passo 5
Usamos a dupla negação para simplificar
para
. Assim a forma final simplificada da negação é
Interpretação em palavras: a negação de "existe um
com
e
" é “para todo
, ou
é verdadeiro, ou
é falso” — isto é, não existe nenhum
que simultaneamente tenha
e
.
Exemplo concreto para fixar: se
significa “x é par” e
significa “x>0”, a afirmação original diz “existe um
que é ímpar e positivo”. A negação diz “para todo
, ou
é par ou
não é positivo” — isto é, não existe inteiro que seja ao mesmo tempo ímpar e positivo.