Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\exists x)(\neg p(x) \wedge q(x))

Passo 1

O enunciado pede: negar a sentença lógica dada. A sentença fornecida é
(\exists x)(\neg p(x) \wedge q(x)).
Ou seja, foi dada a afirmação “existe algum x tal que \neg p(x) e q(x) são verdadeiros simultaneamente”. A tarefa é escrever a negação dessa afirmação de forma logicamente equivalente.

Passo 2

Vamos lembrar duas regras fundamentais que usaremos.
  • Regra de negação de quantificadores: a negação de uma existência vira uma universal com negação interna, e vice-versa. Formalmente,
\neg\bigl((\exists x)\,\varphi(x)\bigr)\equiv (\forall x)\,\neg\varphi(x), \qquad \neg\bigl((\forall x)\,\varphi(x)\bigr)\equiv (\exists x)\,\neg\varphi(x).
Explicação intuitiva: dizer "não existe x com \varphi(x)" é o mesmo que "para todo x, não \varphi(x)".
  • Leis de De Morgan para conectivos lógicos: a negação de uma conjunção vira uma disjunção das negações, e a negação de uma disjunção vira uma conjunção das negações. Formalmente,
\neg(A\wedge B)\equiv \neg A \vee \neg B, \qquad \neg(A\vee B)\equiv \neg A \wedge \neg B.
Também usaremos a dupla negação: \neg\neg R\equiv R.

Passo 3

Aplicando a regra de negação de quantificadores à sentença original. Negamos toda a fórmula com o quantificador existencial:
\neg\bigl((\exists x)(\neg p(x)\wedge q(x))\bigr)\equiv (\forall x)\,\neg\bigl(\neg p(x)\wedge q(x)\bigr).
Aqui foi usado que a negação de (\exists x)\varphi(x) é (\forall x)\neg\varphi(x). Note que a negação passou para dentro, ficando aplicada à fórmula \neg p(x)\wedge q(x).

Passo 4

Agora usamos De Morgan para distribuir a negação sobre a conjunção interna. Tomando A=\neg p(x) e B=q(x), temos
\neg\bigl(\neg p(x)\wedge q(x)\bigr)\equiv \neg\neg p(x)\vee \neg q(x).
Portanto, substituindo na expressão com o quantificador, obtemos
(\forall x)\bigl(\neg\neg p(x)\vee \neg q(x)\bigr).

Passo 5

Usamos a dupla negação para simplificar \neg\neg p(x) para p(x). Assim a forma final simplificada da negação é
(\forall x)\bigl(p(x)\vee \neg q(x)\bigr).
Interpretação em palavras: a negação de "existe um x com \neg p(x) e q(x)" é “para todo x, ou p(x) é verdadeiro, ou q(x) é falso” — isto é, não existe nenhum x que simultaneamente tenha \neg p(x) e q(x).
Exemplo concreto para fixar: se p(x) significa “x é par” e q(x) significa “x>0”, a afirmação original diz “existe um x que é ímpar e positivo”. A negação diz “para todo x, ou x é par ou x não é positivo” — isto é, não existe inteiro que seja ao mesmo tempo ímpar e positivo.

Resposta

(\forall x)(p(x)\vee \neg q(x))

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