Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
Passo 1
O que o enunciado pede: negar a sentença lógica fornecida.
O enunciado nos dá a fórmula:
Informações relevantes fornecidas:
- Há um quantificador existencial
. - As expressões
, e são predicados que dependem de (ou seja, afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas para cada ). - A parte dentro do quantificador é uma conjunção de duas implicações:
e .
Pergunta explícita: escrever a negação lógica dessa fórmula original.
Passo 2
Regra inicial para mover a negação do quantificador:
A negação de um quantificador existe transforma-se em um quantificador universal com a negação da fórmula interna. Em símbolos:
A negação de um quantificador existe transforma-se em um quantificador universal com a negação da fórmula interna. Em símbolos:
Intuição simples: “não existe x tal que …” é equivalente a “para todo x, não …”.
Aplicando isso à fórmula dada:
Passo 3
Agora vamos tirar a negação de uma conjunção. A lei de De Morgan diz que a negação de uma conjunção vira uma disjunção das negações:
Aplicando com
e
, obtemos:
Passo 4
Negar uma implicação: usar a equivalência
Assim,
Explicando em palavras: a implicação
é falsa exatamente quando
é verdadeira e
é falsa.
Aplicando isso às duas implicações com predicados:
Passo 5
Substituindo essas equivalências na expressão do Passo 3, obtemos a forma final, simplificada e clara:
Interpretação em linguagem simples: “Para todo
, ou
é verdadeiro e
é falso, ou
é verdadeiro e
é falso.” Isso é exatamente a negação de “existe um
tal que ambas as implicações são verdadeiras”.