Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\exists x)((p(x) \rightarrow q(x)) \wedge(q(x) \rightarrow r(x)))

Passo 1

O que o enunciado pede: negar a sentença lógica fornecida.
O enunciado nos dá a fórmula:
(\exists x)\bigl((p(x)\rightarrow q(x))\wedge(q(x)\rightarrow r(x))\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • Há um quantificador existencial \exists x.
  • As expressões p(x), q(x) e r(x) são predicados que dependem de x (ou seja, afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas para cada x).
  • A parte dentro do quantificador é uma conjunção de duas implicações: (p(x)\rightarrow q(x)) e (q(x)\rightarrow r(x)).
Pergunta explícita: escrever a negação lógica dessa fórmula original.

Passo 2

Regra inicial para mover a negação do quantificador:
A negação de um quantificador existe transforma-se em um quantificador universal com a negação da fórmula interna. Em símbolos:
\neg(\exists x)\,\varphi(x)\equiv(\forall x)\,\neg\varphi(x).
Intuição simples: “não existe x tal que …” é equivalente a “para todo x, não …”.
Aplicando isso à fórmula dada:
\neg\bigl((\exists x)\bigl((p(x)\rightarrow q(x))\wedge(q(x)\rightarrow r(x))\bigr)\bigr) \equiv (\forall x)\,\neg\bigl((p(x)\rightarrow q(x))\wedge(q(x)\rightarrow r(x))\bigr).

Passo 3

Agora vamos tirar a negação de uma conjunção. A lei de De Morgan diz que a negação de uma conjunção vira uma disjunção das negações:
\neg(A\wedge B)\equiv(\neg A)\vee(\neg B).
Aplicando com A\equiv(p(x)\rightarrow q(x)) e B\equiv(q(x)\rightarrow r(x)), obtemos:
(\forall x)\,\Bigl(\neg(p(x)\rightarrow q(x))\vee\neg(q(x)\rightarrow r(x))\Bigr).

Passo 4

Negar uma implicação: usar a equivalência
(p\rightarrow q)\equiv(\neg p)\vee q.
Assim,
\neg(p\rightarrow q)\equiv\neg\bigl((\neg p)\vee q\bigr)\equiv p\wedge\neg q.
Explicando em palavras: a implicação p\rightarrow q é falsa exatamente quando p é verdadeira e q é falsa.
Aplicando isso às duas implicações com predicados:
\neg(p(x)\rightarrow q(x))\equiv p(x)\wedge\neg q(x),
\neg(q(x)\rightarrow r(x))\equiv q(x)\wedge\neg r(x).

Passo 5

Substituindo essas equivalências na expressão do Passo 3, obtemos a forma final, simplificada e clara:
(\forall x)\,\bigl((p(x)\wedge\neg q(x))\vee(q(x)\wedge\neg r(x))\bigr).
Interpretação em linguagem simples: “Para todo x, ou p(x) é verdadeiro e q(x) é falso, ou q(x) é verdadeiro e r(x) é falso.” Isso é exatamente a negação de “existe um x tal que ambas as implicações são verdadeiras”.

Resposta

(\forall x)\,\bigl((p(x)\wedge\neg q(x))\vee(q(x)\wedge\neg r(x))\bigr)

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