Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\forall x)((p(x) \rightarrow q(x)) \rightarrow r(x))

Passo 1

O que o enunciado pede: negar a sentença lógica
(\forall x)\bigl((p(x)\rightarrow q(x)) \rightarrow r(x)\bigr).
Informações dadas:
  • A fórmula a ser negada é exatamente (\forall x)((p(x)\rightarrow q(x)) \rightarrow r(x)).
  • Não há outras condições sobre o universo de discurso ou sobre p,q,r; trabalhar apenas com as regras lógicas valendo para qualquer predicado.

Passo 2

Regra importante 1 — negação de quantificadores: a negação de um quantificador universal vira um existencial com negação do predicado. Ou seja,
\neg\bigl((\forall x)\,P(x)\bigr)\equiv (\exists x)\,\neg P(x).
Aqui P(x) é qualquer propriedade dependente de x. Essa é uma regra padrão de lógica de predicados; interpretando em português: "não é verdade que todo x satisfaz P" é equivalente a "existe algum x que não satisfaz P".

Passo 3

Aplicando a regra do Passo 2 à fórmula original: seja
P(x)\coloneqq \bigl((p(x)\rightarrow q(x)) \rightarrow r(x)\bigr).
Então
\neg\bigl((\forall x)\,P(x)\bigr)\equiv (\exists x)\,\neg P(x),
ou seja
\neg\bigl((\forall x)((p(x)\rightarrow q(x)) \rightarrow r(x))\bigr) \equiv (\exists x)\,\neg\bigl((p(x)\rightarrow q(x)) \rightarrow r(x)\bigr).

Passo 4

Regra importante 2 — negação de implicação: a negação de A\rightarrow B é equivalente a A\land \neg B. Em símbolos,
\neg(A\rightarrow B)\equiv A\land \neg B.
Intuição rápida: A\rightarrow B só falha quando A é verdadeiro e B é falso; por isso a negação exige A e \neg B.

Passo 5

Aplicando a regra do Passo 4 com A\coloneqq (p(x)\rightarrow q(x)) e B\coloneqq r(x), obtemos
\neg\bigl((p(x)\rightarrow q(x)) \rightarrow r(x)\bigr) \equiv (p(x)\rightarrow q(x)) \land \neg r(x).
Substituindo na quantificação do Passo 3 resulta
\neg\bigl((\forall x)((p(x)\rightarrow q(x)) \rightarrow r(x))\bigr) \equiv (\exists x)\bigl((p(x)\rightarrow q(x)) \land \neg r(x)\bigr).

Passo 6

Opcional — deixar a forma ainda mais explícita usando p(x)\rightarrow q(x)\equiv \neg p(x)\lor q(x). Substituindo isso temos uma forma equivalente totalmente em termos de \land,\lor,\neg:
(\exists x)\bigl((\neg p(x)\lor q(x)) \land \neg r(x)\bigr).
Interpretação em palavras (pra te motivar): a negação diz “existe algum x tal que (se p(x) então q(x)) e, além disso, r(x) é falso”.

Resposta

\displaystyle (\exists x)\bigl((\neg p(x)\lor q(x)) \land \neg r(x)\bigr)

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