Nesta questão, descreva os eventos envolvidos e use a teoria para resolvê-la.
Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Selecionam-se duas bolas sem reposição.
a) Calcule a probabilidade de que a segunda bola seja preta, dado que a primeira é preta.
b) Calcule a probabilidade de que a segunda bola seja da mesma cor da primeira.
c) Calcule a probabilidade de que a primeira bola seja branca, dado que a segunda é branca.

Passo 1

A gente tem uma urna com 3 bolas brancas e 2 bolas pretas, e vai tirar duas bolas sem reposição. Para resolver isso vamos usar três ideias principais da teoria de probabilidade:
  1. Definição de probabilidade condicional
  2. Regra da probabilidade total
  3. Teorema de Bayes
Chamando de B_1 o evento “primeira bola é preta”, de B_2 o evento “segunda bola é preta” (e análogos para brancas), temos que
P(\text{segunda bola é preta}\mid \text{primeira bola é preta})éé
usa condicional direta,
P(\text{mesma cor})
usa soma de eventos mutuamente exclusivos,
P(\text{primeira branca}\mid \text{segunda branca})
usa Bayes.

Passo 2

a) Queremos
P(B_2\mid B_1).
Se a primeira saiu preta, sobra na urna 1 bola preta e 3 brancas, total 4 bolas. Assim
P(B_2\mid B_1) =\frac{\text{nº de pretas restantes}}{\text{total restante}} =\frac{1}{4}.º

Passo 3

b) A segunda bola ter a mesma cor da primeira significa ou ambas brancas ou ambas pretas. Logo
P(\text{mesma cor}) =P(\text{WW}) + P(\text{BB}).
Calculando
P(\text{WW}) =\frac{3}{5}\times\frac{2}{4} =\frac{3}{10}, \qquad P(\text{BB}) =\frac{2}{5}\times\frac{1}{4} =\frac{1}{10}.
Somando
P(\text{mesma cor}) =\frac{3}{10}+\frac{1}{10} =\frac{4}{10} =\frac{2}{5}.

Passo 4

c) Aqui usamos o Teorema de Bayes para
P(\text{primeira branca}\mid \text{segunda branca}) =\frac{P(\text{WW})}{P(\text{segunda branca})}.
Já vimos P(\text{WW})=3/10. Falta
P(\text{segunda branca}) =P(\text{WW}) + P(\text{primeira preta, segunda branca}).
E
P(\text{primeira preta, segunda branca}) =\frac{2}{5}\times\frac{3}{4} =\frac{6}{20} =\frac{3}{10}.
Logo
P(\text{segunda branca}) =\frac{3}{10}+\frac{3}{10} =\frac{6}{10} =\frac{3}{5}.
Portanto
P(\text{primeira branca}\mid \text{segunda branca}) =\frac{\tfrac{3}{10}}{\tfrac{3}{5}} =\frac{1}{2}.

Resposta

a) \tfrac{1}{4}
b) \tfrac{2}{5}
c) \tfrac{1}{2}

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