Nesta seção, considere situações em que todos os valores possíveis da variável aleatória possuem a mesma probabilidade de ocorrência.
2. Escolha de tanque para inspeção. Um sistema escolhe aleatoriamente um dos 8 tanques numerados de 1 a 8 para inspeção diária. Seja X o número do tanque escolhido.
(a) Escreva a função de probabilidade de X.
(b) Calcule a probabilidade P(X \geq 6).
(c) Calcule a probabilidade P(X \in\{2,4,6,8\}).

Passo 1

O enunciado diz que um sistema escolhe aleatoriamente um dos 8 tanques numerados de 1 a 8 para inspeção diária. Seja X o número do tanque escolhido. As perguntas são:
  • (a) Escrever a função de probabilidade de X.
  • (b) Calcular P(X \geq 6).
  • (c) Calcular P(X \in\{2,4,6,8\}).
Informações relevantes dadas:
  • Há exatamente 8 resultados possíveis: \{1,2,3,4,5,6,7,8\}.
  • Todos os resultados têm a mesma probabilidade de ocorrer (situação de probabilidades iguais).

Passo 2

Entendendo o modelo: quando todos os [n) resultados possíveis são igualmente prováveis, cada resultado tem probabilidade \dfrac{1}{n}. Aqui n=8. Portanto, a probabilidade de cada número de tanque x (quando x é um dos números permitidos) é \dfrac{1}{8}.
Formalizando a função de probabilidade (função massa de probabilidade) de X:
P(X=x)= \begin{cases} \dfrac{1}{8}, & \text{se } x\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
Explicação rápida do porquê: a soma das probabilidades de todos os 8\] resultados deve ser \(1. Se cada um tem a mesma probabilidade p, então 8p=1, logo p=\dfrac{1}{8}.]

Passo 3

Calcular P(X \geq 6).
Passo a passo:
  • O evento \{X\geq6\} corresponde aos resultados \{6,7,8\}.
  • Esses resultados são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer simultaneamente), então a probabilidade do evento é a soma das probabilidades dos resultados individuais.
  • Cada resultado tem probabilidade \dfrac{1}{8}. Há 3 resultados no evento.
Cálculo:
P(X\geq6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=3\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}.

Passo 4

Calcular P(X\in\{2,4,6,8\}).
Passo a passo:
  • O evento contém os quatro números pares \{2,4,6,8\}.
  • São 4 resultados disjuntos, cada um com probabilidade \dfrac{1}{8}.
  • Soma das probabilidades: 4\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}.
Simplificando:
\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Resumo conceitual rápido (dica para a prova): quando lidamos com variáveis discretas com resultados igualmente prováveis, conte quantos resultados pertencem ao evento desejado e divida pelo total de resultados possíveis. Ou seja,
P(\text{evento})=\dfrac{\text{nº de resultados favoráveis}}{\text{nº total de resultados}}.ºáº
Isso evita somas longas e é muito prático em provas.

Resposta

\displaystyle P(X=x)=\begin{cases}\dfrac{1}{8}, & x\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\\[6pt]0,&\text{caso contrário}.\end{cases}á
\displaystyle \dfrac{3}{8}
\displaystyle \dfrac{1}{2}]

Exercícios relacionados