Nesta seção, considere situações em que todos os valores possíveis da variável aleatória possuem a mesma probabilidade de ocorrência.
3. Dias de pesca na semana. Um pescador artesanal sai para pesca em X dias por semana, sendo X \in\{1,2,3,4,5\}, e todos esses valores são equiprováveis.
(a) Escreva a função de probabilidade de X.
(b) Calcule a probabilidade P(X>3).
(c) Calcule o valor esperado E(X).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
  • Informação dada:
    • A variável aleatória X representa o número de dias que o pescador sai para pesca por semana.
    • Os possíveis valores são \{1,2,3,4,5\}.
    • Todos esses valores são equiprováveis (ou seja, têm a mesma probabilidade).
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Escrever a função de probabilidade de X (a função massa de probabilidade).
    (b) Calcular P(X>3).
    (c) Calcular o valor esperado E(X).

Passo 2

(a) Construir a função de probabilidade de X.
Explicação didática: para uma variável discreta, a função de probabilidade (ou função massa de probabilidade) p_X(x) atribui a cada valor x a probabilidade P(X=x). Aqui temos um caso simples: há exatamente cinco valores possíveis e todos têm a mesma probabilidade. Então cada valor tem probabilidade igual a 1 dividido pelo número total de valores possíveis.
  • O número total de valores possíveis é 5.
  • Portanto, para cada x\in\{1,2,3,4,5\} vale:
p_X(x)=P(X=x)=\frac{1}{5}.
  • Para qualquer outro x (fora do conjunto \{1,2,3,4,5\}) a probabilidade é zero:
p_X(x)=0\quad\text{se }x\notin\{1,2,3,4,5\}.

Passo 3

(b) Calcular P(X>3).
Explicação didática: P(X>3) é a soma das probabilidades dos valores de X que são maiores que 3. Os valores maiores que 3 no nosso conjunto são 4 e 5. Como cada um tem probabilidade \tfrac{1}{5}, soma-se essas probabilidades.
  • Lista dos eventos: X=4 e X=5.
  • Soma das probabilidades:
P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.
  • Em decimal (vírgula conforme convensão): \frac{2}{5}=0,4. Então
P(X>3)=\frac{2}{5}=0,4.

Passo 4

(c) Calcular o valor esperado E(X) — conceito e fórmula.
Explicação didática: o valor esperado (ou esperança matemática) de uma variável discreta X é a média ponderada dos possíveis valores de X, usando as probabilidades como pesos. A fórmula geral é
E(X)=\sum_{x} x\,p_X(x),
onde a soma é sobre todos os valores possíveis de X. Aqui x representa um valor possível da variável e p_X(x) é a probabilidade desse valor.
No caso equiprovável com valores \{1,2,3,4,5\}, podemos calcular diretamente somando cada valor multiplicado por \tfrac{1}{5}.

Passo 5

(c) Cálculo efetivo de E(X).
  • Aplicando a fórmula:
E(X)=\sum_{x=1}^{5} x\cdot p_X(x)=\sum_{x=1}^{5} x\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}\sum_{x=1}^{5} x.
  • Agora preciso da soma dos inteiros de 1 a 5. A soma dos primeiros n inteiros é dada pela fórmula
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}.
Aqui n=5, então
\sum_{x=1}^{5} x=\frac{5\cdot6}{2}=15.
  • Substituindo:
E(X)=\frac{1}{5}\cdot 15=\frac{15}{5}=3.
Interpretação: como os valores são equiprováveis, o valor esperado coincide com a média aritmética dos valores possíveis, que é 3. Isso faz sentido intuitivo: em muitas semanas, em média o pescador sai 3 dias por semana.

Resposta

(a) p_X(x)=\dfrac{1}{5} para x\in\{1,2,3,4,5\} e p_X(x)=0 caso contrário.
(b) P(X>3)=\dfrac{2}{5}=0,4
(c) E(X)=3

Exercícios relacionados