Nesta seção, considere situações em que todos os valores possíveis da variável aleatória possuem a mesma probabilidade de ocorrência.
3. Dias de pesca na semana. Um pescador artesanal sai para pesca em
dias por semana, sendo
, e todos esses valores são equiprováveis.
(a) Escreva a função de probabilidade de
.
(b) Calcule a probabilidade
.
(c) Calcule o valor esperado
.
3. Dias de pesca na semana. Um pescador artesanal sai para pesca em
(a) Escreva a função de probabilidade de
(b) Calcule a probabilidade
(c) Calcule o valor esperado
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
-
Informação dada:
- A variável aleatória
representa o número de dias que o pescador sai para pesca por semana. - Os possíveis valores são
. - Todos esses valores são equiprováveis (ou seja, têm a mesma probabilidade).
- A variável aleatória
-
Perguntas do enunciado:
(a) Escrever a função de probabilidade de(a função massa de probabilidade).
(b) Calcular.
(c) Calcular o valor esperado.
Passo 2
(a) Construir a função de probabilidade de
.
Explicação didática: para uma variável discreta, a função de probabilidade (ou função massa de probabilidade)
atribui a cada valor
a probabilidade
. Aqui temos um caso simples: há exatamente cinco valores possíveis e todos têm a mesma probabilidade. Então cada valor tem probabilidade igual a
dividido pelo número total de valores possíveis.
- O número total de valores possíveis é
. - Portanto, para cada
vale:
- Para qualquer outro
(fora do conjunto ) a probabilidade é zero:
Passo 3
(b) Calcular
.
Explicação didática:
é a soma das probabilidades dos valores de
que são maiores que
. Os valores maiores que
no nosso conjunto são
e
. Como cada um tem probabilidade
, soma-se essas probabilidades.
- Lista dos eventos:
e . - Soma das probabilidades:
- Em decimal (vírgula conforme convensão):
. Então
Passo 4
(c) Calcular o valor esperado
— conceito e fórmula.
Explicação didática: o valor esperado (ou esperança matemática) de uma variável discreta
é a média ponderada dos possíveis valores de
, usando as probabilidades como pesos. A fórmula geral é
onde a soma é sobre todos os valores possíveis de
. Aqui
representa um valor possível da variável e
é a probabilidade desse valor.
No caso equiprovável com valores
, podemos calcular diretamente somando cada valor multiplicado por
.
Passo 5
(c) Cálculo efetivo de
.
- Aplicando a fórmula:
- Agora preciso da soma dos inteiros de
a . A soma dos primeiros inteiros é dada pela fórmula
Aqui
, então
- Substituindo:
Interpretação: como os valores são equiprováveis, o valor esperado coincide com a média aritmética dos valores possíveis, que é
. Isso faz sentido intuitivo: em muitas semanas, em média o pescador sai
dias por semana.
Resposta
(a)
para
e
caso contrário.
(b)
(c)
(b)
(c)