Caixas defeituosas em freezer. Um freezer possui
caixas, das quais
têm defeito. Retiram-se
caixas sem reposição. Seja
o número de caixas defeituosas na amostra.
(a) Calcule
e
.
(a) Calcule
Passo 1
O enunciado dá claramente os números e pede probabilidades sobre a amostra:
- Temos
caixas no freezer, das quais têm defeito e não têm defeito. - Foi retirada uma amostra de
caixas sem reposição. - A variável aleatória
é o número de caixas defeituosas na amostra de .
As perguntas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Que distribuição usar e por que: aqui estamos selecionando
itens sem reposição de uma população finita com
sucessos (caixas defeituosas) e
fracassos. Isso é exatamente o caso da distribuição hipergeométrica.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
onde:
-
conta as formas de escolher caixas defeituosas dentre as , -
conta as formas de escolher as restantes caixas sem defeito dentre as , -
é o número total de amostras possíveis de tamanho .
Passo 3
Calcular o denominador
. Faço a conta passo a passo:
O denominador
cancela com o
do numerador, sobrando
Passo 4
Calcular
aplicando a fórmula com
:
Aqui
. Calculo
:
Portanto
Podemos simplificar dividindo por
:
Como aproximação decimal (útil na prova para interpretar):
Passo 5
Calcular
com
:
Calculo os combinatórios:
e
Logo o numerador é
e
Simplificando (dividindo por
):
Aproximação decimal:
Passo 6
Agora obtenho
. Somando as frações já calculadas:
Simplificando por
:
Aproximação decimal:
Passo 7
Breve interpretação e checagem (só para dar confiança): a probabilidade de não sair mais do que uma caixa defeituosa em 4 retiradas é cerca de
, ou seja, um pouco menos da metade. Faz sentido porque a proporção de defeituosas na população é
, e em média esperaríamos
defeituosas na amostra de 4; então probabilidade de 0 ou 1 é razoavelmente alta, mas menor que
. (Isto é só comentário intuitivo para te dar segurança.)