Caixas defeituosas em freezer. Um freezer possui N=25 caixas, das quais K=10 têm defeito. Retiram-se n=4 caixas sem reposição. Seja X o número de caixas defeituosas na amostra.
(a) Calcule P(X \leq 1) e P(X=0).

Passo 1

O enunciado dá claramente os números e pede probabilidades sobre a amostra:
  • Temos N=25 caixas no freezer, das quais K=10 têm defeito e N-K=15 não têm defeito.
  • Foi retirada uma amostra de n=4 caixas sem reposição.
  • A variável aleatória X é o número de caixas defeituosas na amostra de n=4.
As perguntas são:
  • Calcular P(X\leq 1).
  • Calcular P(X=0).

Passo 2

Que distribuição usar e por que: aqui estamos selecionando n itens sem reposição de uma população finita com K sucessos (caixas defeituosas) e N-K fracassos. Isso é exatamente o caso da distribuição hipergeométrica.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
P(X=x)=\frac{\binom{K}{x}\,\binom{N-K}{\,n-x\,}}{\binom{N}{n}},
onde:
  • \binom{K}{x} conta as formas de escolher x caixas defeituosas dentre as K,
  • \binom{N-K}{\,n-x\,} conta as formas de escolher as restantes n-x caixas sem defeito dentre as N-K,
  • \binom{N}{n} é o número total de amostras possíveis de tamanho n.

Passo 3

Calcular o denominador \binom{N}{n}=\binom{25}{4}. Faço a conta passo a passo:
\binom{25}{4}=\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
O denominador 4\cdot3\cdot2\cdot1=24 cancela com o 24 do numerador, sobrando
\binom{25}{4}=25\cdot23\cdot22=25\cdot506=12650.

Passo 4

Calcular P(X=0) aplicando a fórmula com x=0:
P(X=0)=\frac{\binom{10}{0}\,\binom{15}{4}}{\binom{25}{4}}.
Aqui \binom{10}{0}=1. Calculo \binom{15}{4}:
\binom{15}{4}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{32760}{24}=1365.
Portanto
P(X=0)=\frac{1365}{12650}.
Podemos simplificar dividindo por 5:
P(X=0)=\frac{273}{2530}.
Como aproximação decimal (útil na prova para interpretar):
P(X=0)\approx 0,107945.

Passo 5

Calcular P(X=1) com x=1:
P(X=1)=\frac{\binom{10}{1}\,\binom{15}{3}}{\binom{25}{4}}.
Calculo os combinatórios:
\binom{10}{1}=10 e
\binom{15}{3}=\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}=\frac{2730}{6}=455.
Logo o numerador é 10\cdot455=4550 e
P(X=1)=\frac{4550}{12650}.
Simplificando (dividindo por 5):
P(X=1)=\frac{91}{253}.
Aproximação decimal:
P(X=1)\approx 0,359686.

Passo 6

Agora obtenho P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1). Somando as frações já calculadas:
P(X\leq1)=\frac{1365+4550}{12650}=\frac{5915}{12650}.
Simplificando por 5:
P(X\leq1)=\frac{1183}{2530}.
Aproximação decimal:
P(X\leq1)\approx 0,467631.

Passo 7

Breve interpretação e checagem (só para dar confiança): a probabilidade de não sair mais do que uma caixa defeituosa em 4 retiradas é cerca de 0,468, ou seja, um pouco menos da metade. Faz sentido porque a proporção de defeituosas na população é 10/25=0,4, e em média esperaríamos n\cdot0,4=1,6 defeituosas na amostra de 4; então probabilidade de 0 ou 1 é razoavelmente alta, mas menor que 0,5. (Isto é só comentário intuitivo para te dar segurança.)

Resposta

P(X\leq1)=\dfrac{1183}{2530}\approx 0,467631\n
P(X=0)=\dfrac{273}{2530}\approx 0,107945

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