Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo, y(t) representa a saída do sistema, e x(t) é a entrada do sistema.
y(t)=x(t-2)+x(2-t)

Passo 1

O enunciado define o sistema contínuo
y(t)=x(t-2)+x(2-t)
e pede para verificar as seguintes propriedades gerais de sistemas: sem memória, invariante no tempo, linear, causal e estável (BIBO). Vamos analisar cada uma delas.

Passo 2

Propriedade sem memória: um sistema é sem memória se para todo instante t a saída y(t) depender apenas de x(t). Aqui temos
y(t)=x(t-2)+x(2-t),
ou seja, y(t) usa valores de x em t-2 e em 2-t, que em geral são diferentes de t. Logo o sistema não é sem memória.

Passo 3

Invariância no tempo: seja um deslocamento de entrada x_1(t)=x(t-t_0). A saída correspondente é
y_1(t)=x_1(t-2)+x_1(2-t)=x(t-t_0-2)+x\bigl(2-t-t_0\bigr).
Por outro lado, deslocando a saída original em t_0 temos
y(t-t_0)=x\bigl((t-t_0)-2\bigr)+x\bigl(2-(t-t_0)\bigr) =x(t-t_0-2)+x\bigl(2-t+t_0\bigr),
e como 2-t-t_0=2-t+t_0 por comutatividade da subtração em \mathbb R, segue
y_1(t)=y(t-t_0),
logo o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Linearidade: a operação T definida por
T\{x\}(t)=x(t-2)+x(2-t)
é soma de dois operadores de deslocamento, cada um linear. Para sinais x_1,x_2 e escalares a,b,
T\{a\,x_1+b\,x_2\}(t) =(a\,x_1+b\,x_2)(t-2)+(a\,x_1+b\,x_2)(2-t)
= a\,x_1(t-2)+b\,x_2(t-2)+a\,x_1(2-t)+b\,x_2(2-t)
= a\,T\{x_1\}(t)+b\,T\{x_2\}(t),
portanto é linear.

Passo 5

Causalidade: um sistema é causal se y(t) depender apenas de valores x(\tau) com \tau\le t. Aqui o termo x(2-t) avalia o sinal de entrada em \tau=2-t. Para instantes t<1 temos 2-t>t, ou seja, uso de valores futuros de x. Logo o sistema não é causal.

Passo 6

Estabilidade BIBO: se \lvert x(t)\rvert\le M para todo t, então
\lvert y(t)\rvert \le \lvert x(t-2)\rvert+\lvert x(2-t)\rvert \le M+M=2M<\infty.
Portanto o sistema é estável (BIBO).

Resposta

(1) Sem memória: não
(2) Invariante no tempo: sim
(3) Linear: sim
(4) Causal: não
(5) Estável: sim

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