Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo,
representa a saída do sistema, e
é a entrada do sistema.
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Passo 1
O enunciado define o sistema contínuo
e pede para verificar as seguintes propriedades gerais de sistemas: sem memória, invariante no tempo, linear, causal e estável (BIBO). Vamos analisar cada uma delas.
Passo 2
Propriedade sem memória: um sistema é sem memória se para todo instante
a saída
depender apenas de
. Aqui temos
ou seja,
usa valores de
em
e em
, que em geral são diferentes de
. Logo o sistema não é sem memória.
Passo 3
Invariância no tempo: seja um deslocamento de entrada
. A saída correspondente é
Por outro lado, deslocando a saída original em
temos
e como
por comutatividade da subtração em
, segue
logo o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
Linearidade: a operação
definida por
é soma de dois operadores de deslocamento, cada um linear. Para sinais
e escalares
,
portanto é linear.
Passo 5
Causalidade: um sistema é causal se
depender apenas de valores
com
. Aqui o termo
avalia o sinal de entrada em
. Para instantes
temos
, ou seja, uso de valores futuros de
. Logo o sistema não é causal.
Passo 6
Estabilidade BIBO: se
para todo
, então
Portanto o sistema é estável (BIBO).
Resposta
(1) Sem memória: não
(2) Invariante no tempo: sim
(3) Linear: sim
(4) Causal: não
(5) Estável: sim
(2) Invariante no tempo: sim
(3) Linear: sim
(4) Causal: não
(5) Estável: sim