Neste capítulo, deduzimos a função de transferência de um motor cc relacionando a saída de deslocamento angular com a entrada de tensão da armadura. Frequentemente desejamos controlar o torque de saída ao invés do deslocamento. Deduza a função de transferência do motor que relaciona o torque de saída à tensão de entrada da armadura. [Seção: 2.8]
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir a função de transferência que relaciona a tensão aplicada na armadura à torque (torque de saída) do motor.
Informações e símbolos relevantes que vamos usar (essas são as fórmulas padrão do modelo do motor, assumimos condições usuais de que o enunciado se refere a esse modelo):
-
: tensão aplicada na armadura (entrada). -
: corrente da armadura. -
: força eletromotriz (fem) induzida (back‑EMF). -
: indutância da armadura. -
: resistência da armadura. -
: velocidade angular do eixo do motor. -
: torque desenvolvido pelo motor (saída que queremos). -
: constante de back‑EMF, com . -
: constante de torque, com . -
: momento de inércia equivalente do conjunto motor + carga. -
: coeficiente viscoso de atrito (amortecimento) equivalente. - Pressuposição padrão para obter a função de transferência: condições iniciais nulas (para aplicar Laplace) e que o torque de saída
é o torque desenvolvido pelo motor (sem modelar aqui torques externos independentes).
Passo 2
Escrevemos a equação elétrica do circuito da armadura no domínio do tempo (lei de Kirchhoff/segunda lei de Ohm com indutância):
Explicação das parcelas:
-
é a queda de tensão na indutância. -
é a queda ohmica. -
é a fem induzida pelo movimento (back‑EMF) que se opõe à tensão aplicada.
Passo 3
Relacionamento da back‑EMF com a velocidade:
Aqui
converte velocidade angular em tensão (mesma unidade que
em unidades SI dá
, mas manteremos símbolos distintos por clareza).
Passo 4
Relacionamento entre torque e corrente:
Explicação:
converte corrente na armadura em torque eletromagnético desenvolvido.
Passo 5
Equação mecânica (equilíbrio de torques/no movimento rotacional), no tempo:
Interpretando: o torque desenvolvido acelera a inércia (
) e vence o atrito viscoso (
). Aqui estamos considerando que
é o torque líquido entregue ao eixo (ou seja, desprezamos torques externos adicionais como perturbações).
Passo 6
Vamos para o domínio de Laplace para transformar derivadas em multiplicações por
. Lembrando: transformada de
com condições iniciais nulas vira
. Aplicamos Laplace com condições iniciais nulas.
Transformadas importantes:
Passo 7
Transformamos cada equação para o domínio de Laplace:
Equação elétrica:
Equação de torque (constante de torque):
Equação mecânica:
Explanação: agora temos três equações algébricas em
que relacionam
.
Passo 8
Objetivo: eliminar
e
para obter
em função de
.
Da equação de torque:
Da equação mecânica:
Essas expressões permitem escrever
só em termos de
.
Passo 9
Substituímos
e
na equação elétrica:
Fatorando
:
Explicação: agora temos
como um multiplicador de
. Para achar a função de transferência
basta inverter esse fator.
Passo 10
Invertemos a relação para obter a função de transferência procurada:
Vamos simplificar para uma forma racional padrão. Colocamos tudo sobre um denominador comum
:
Invertendo:
Passo 11
Expandindo o denominador para ver a forma polinomial em
:
Produto
.
Somando
obtemos o denominador completo:
Portanto a função de transferência final, em forma expandida, é
Passo 12
Interpretações e casos úteis (rápida revisão prática para prova):
- Se a indutância da armadura for desprezível (
), o sistema vira de primeira ordem:
- Ganho em regime estacionário (valor em
):
- Explicação física: o termo
acopla as dinâmicas elétrica e mecânica (é a ação do contrapareamento entre corrente→torque e velocidade→tensão).