Neste capítulo, deduzimos a função de transferência de um motor cc relacionando a saída de deslocamento angular com a entrada de tensão da armadura. Frequentemente desejamos controlar o torque de saída ao invés do deslocamento. Deduza a função de transferência do motor que relaciona o torque de saída à tensão de entrada da armadura. [Seção: 2.8]

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir a função de transferência que relaciona a tensão aplicada na armadura à torque (torque de saída) do motor.
Informações e símbolos relevantes que vamos usar (essas são as fórmulas padrão do modelo do motor, assumimos condições usuais de que o enunciado se refere a esse modelo):
  • V_a(t): tensão aplicada na armadura (entrada).
  • i_a(t): corrente da armadura.
  • e_b(t): força eletromotriz (fem) induzida (back‑EMF).
  • L: indutância da armadura.
  • R: resistência da armadura.
  • \omega(t): velocidade angular do eixo do motor.
  • T(t): torque desenvolvido pelo motor (saída que queremos).
  • K_b: constante de back‑EMF, com e_b(t)=K_b\,\omega(t).
  • K_t: constante de torque, com T(t)=K_t\,i_a(t).
  • J: momento de inércia equivalente do conjunto motor + carga.
  • B: coeficiente viscoso de atrito (amortecimento) equivalente.
  • Pressuposição padrão para obter a função de transferência: condições iniciais nulas (para aplicar Laplace) e que o torque de saída T é o torque desenvolvido pelo motor (sem modelar aqui torques externos independentes).

Passo 2

Escrevemos a equação elétrica do circuito da armadura no domínio do tempo (lei de Kirchhoff/segunda lei de Ohm com indutância):
V_a(t) = L\,\frac{di_a(t)}{dt} + R\,i_a(t) + e_b(t).
Explicação das parcelas:
  • L\,\dfrac{di_a}{dt} é a queda de tensão na indutância.
  • R\,i_a é a queda ohmica.
  • e_b é a fem induzida pelo movimento (back‑EMF) que se opõe à tensão aplicada.

Passo 3

Relacionamento da back‑EMF com a velocidade:
e_b(t) = K_b\,\omega(t).
Aqui K_b converte velocidade angular em tensão (mesma unidade que K_t em unidades SI dá K_b=K_t, mas manteremos símbolos distintos por clareza).

Passo 4

Relacionamento entre torque e corrente:
T(t) = K_t\,i_a(t).
Explicação: K_t converte corrente na armadura em torque eletromagnético desenvolvido.

Passo 5

Equação mecânica (equilíbrio de torques/no movimento rotacional), no tempo:
T(t) = J\,\frac{d\omega(t)}{dt} + B\,\omega(t).
Interpretando: o torque desenvolvido acelera a inércia ( J\,\dot\omega) e vence o atrito viscoso ( B\,\omega). Aqui estamos considerando que T(t) é o torque líquido entregue ao eixo (ou seja, desprezamos torques externos adicionais como perturbações).

Passo 6

Vamos para o domínio de Laplace para transformar derivadas em multiplicações por s. Lembrando: transformada de \dfrac{d}{dt}x(t) com condições iniciais nulas vira sX(s). Aplicamos Laplace com condições iniciais nulas.
Transformadas importantes:
\mathcal{L}\{i_a(t)\}=I_a(s),\quad \mathcal{L}\{\omega(t)\}=\Omega(s),\quad \mathcal{L}\{T(t)\}=T(s),\quad \mathcal{L}\{V_a(t)\}=V_a(s).

Passo 7

Transformamos cada equação para o domínio de Laplace:
Equação elétrica:
V_a(s) = (L s + R)\,I_a(s) + K_b\,\Omega(s).
Equação de torque (constante de torque):
T(s) = K_t\,I_a(s).
Equação mecânica:
T(s) = (J s + B)\,\Omega(s).
Explanação: agora temos três equações algébricas em s que relacionam V_a(s), I_a(s), \Omega(s), T(s).

Passo 8

Objetivo: eliminar I_a(s) e \Omega(s) para obter T(s) em função de V_a(s).
Da equação de torque:
I_a(s) = \frac{T(s)}{K_t}.
Da equação mecânica:
\Omega(s) = \frac{T(s)}{J s + B}.
Essas expressões permitem escrever V_a(s) só em termos de T(s).

Passo 9

Substituímos I_a(s) e \Omega(s) na equação elétrica:
V_a(s) = (L s + R)\,\frac{T(s)}{K_t} + K_b\,\frac{T(s)}{J s + B}.
Fatorando T(s):
V_a(s) = T(s)\,\left(\frac{L s + R}{K_t} + \frac{K_b}{J s + B}\right).
Explicação: agora temos V_a(s) como um multiplicador de T(s). Para achar a função de transferência G(s)=\dfrac{T(s)}{V_a(s)} basta inverter esse fator.

Passo 10

Invertemos a relação para obter a função de transferência procurada:
\frac{T(s)}{V_a(s)} = \frac{1}{\displaystyle \frac{L s + R}{K_t} + \frac{K_b}{J s + B}}.
Vamos simplificar para uma forma racional padrão. Colocamos tudo sobre um denominador comum K_t (J s + B):
\frac{T(s)}{V_a(s)} = \frac{1}{\displaystyle \frac{(L s + R)(J s + B) + K_t K_b}{K_t (J s + B)}}.
Invertendo:
\frac{T(s)}{V_a(s)} = \frac{K_t (J s + B)}{(L s + R)(J s + B) + K_t K_b}.

Passo 11

Expandindo o denominador para ver a forma polinomial em s:
Produto (L s + R)(J s + B) = L J s^2 + (L B + R J) s + R B.
Somando K_t K_b obtemos o denominador completo:
L J s^2 + (L B + R J) s + (R B + K_t K_b).
Portanto a função de transferência final, em forma expandida, é
\boxed{\displaystyle \frac{T(s)}{V_a(s)} = \frac{K_t (J s + B)}{L J s^2 + (L B + R J) s + (R B + K_t K_b)}.}

Passo 12

Interpretações e casos úteis (rápida revisão prática para prova):
  • Se a indutância da armadura for desprezível ( L\approx 0), o sistema vira de primeira ordem:
\frac{T(s)}{V_a(s)} \approx \frac{K_t (J s + B)}{R J s + (R B + K_t K_b)}.
  • Ganho em regime estacionário (valor em s=0):
\frac{T(0)}{V_a(0)} = \frac{K_t B}{R B + K_t K_b}.
  • Explicação física: o termo K_t K_b acopla as dinâmicas elétrica e mecânica (é a ação do contrapareamento entre corrente→torque e velocidade→tensão).

Resposta

\displaystyle \frac{T(s)}{V_a(s)} = \frac{K_t (J s + B)}{L J s^2 + (L B + R J) s + (R B + K_t K_b)}.

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