Pesquise e defina:
c) Sistema marginalmente estável.
c) Sistema marginalmente estável.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir claramente o que é “sistema marginalmente estável”.
Informações dadas: apenas a frase “Sistema marginalmente estável” — ou seja, devo pesquisar/explicar e dar uma definição didática e exemplos que me permitam identificar esse caso na prática.
Informações dadas: apenas a frase “Sistema marginalmente estável” — ou seja, devo pesquisar/explicar e dar uma definição didática e exemplos que me permitam identificar esse caso na prática.
Passo 2
Ideia essencial (sem resolver ainda): quando falamos de estabilidade de sistemas dinâmicos queremos saber se as respostas do sistema ficam limitadas com o tempo ou tendem a zero, dependendo das condições iniciais e das entradas. A definição de “marginalmente estável” descreve um caso intermediário entre “assintoticamente estável” (tudo decai para zero) e “instável” (alguma coisa cresce sem limite).
Passo 3
Conceito básico explicado com palavras simples:
- Chamamos de resposta homogênea a evolução do sistema sem entrada (apenas com condições iniciais).
- Um sistema é marginalmente estável quando, para toda condição inicial razoável, a resposta homogênea permanece limitada no tempo (não explode), mas existe pelo menos uma condição inicial cuja resposta não tende a zero quando
. Em outras palavras: as soluções não crescem sem limite, porém algumas não desaparecem — ficam constantes ou oscilam indefinidamente. Vou traduzir isso em termos matemáticos e práticos nos próximos passos.
Passo 4
Definição formal (tempo contínuo, sistemas lineares invariantes no tempo — LTI): considere a solução geral da equação homogênea escrita como soma de modos exponenciais
onde
são os polos/autovalores do sistema e
dependem das condições iniciais.
- Se todos os polos satisfazem
, então cada termo tende a zero e o sistema é assintoticamente estável. - Se existe algum polo com
, então algum termo cresce exponencialmente e o sistema é instável. - Se todos os polos têm
e todo polo com é simples (multiplicidade 1), então os termos com são do tipo ou constante, que são limitados mas não decaem; nesse caso o sistema é marginalmente estável. Se algum polo com tiver multiplicidade maior que 1, aparecem termos como (ou constante) que crescem em módulo e tornam o sistema instável.
Explicação do porquê: um polo simples na borda imaginária gera um modo oscilatório de amplitude constante; um polo múltiplo na mesma borda gera um fator polinomial em
multiplicando a oscilação, gerando crescimento.
Passo 5
Versão para tempo discreto (LTI discreto com solução homogênea)
onde
são os polos no plano
e
depende da multiplicidade. Condições análogas:
- Se todos os polos satisfazem
então o sistema é assintoticamente estável (modos decaem). - Se algum polo tem
então o sistema é instável. - Se todos têm
e os polos com são simples (multiplicidade 1), então o sistema é marginalmente estável (modos com geram oscilações/permanências limitadas). Se algum polo sobre o círculo unitário tiver multiplicidade >1, o termo cresce sem limite e o sistema é instável.
Passo 6
Exemplos concretos e intuitivos (são úteis na prova):
- Exemplo contínuo 1: sistema com polos em
(os dois polos simples na imaginação pura). A solução homogênea é combinação de e : sinais oscilatórios de amplitude constante. Portanto o sistema é marginalmente estável. - Exemplo contínuo 2: polo simples em
. Modo contribuição (constante) — limitado e não decai ⇒ marginalmente estável. Se o polo for duplo, aparece termo que cresce ⇒ instável. - Exemplo discreto: polo simples em
(módulo 1) gera sequência oscilatória de amplitude constante ⇒ marginalmente estável. Se o polo em for repetido, surge fator e a saída cresce ⇒ instável.
Passo 7
Relação com BIBO (entrada forçada): cuidado — marginalmente estável internamente nem sempre é BIBO estável. Para BIBO estabilidade de um sistema LTI contínuo precisamos que a resposta ao impulso
seja absolutamente integrável:
Sistemas marginalmente estáveis (por exemplo com um polo simples em
) podem ter
não integrável e, portanto, não ser BIBO estáveis. Por isso, ao analisar uma questão de prova, primeiro identifique se pedem estabilidade interna (modos) ou BIBO.
Passo 8
Procedimento prático que você pode usar na prova (check-list rápido):
- Encontre os polos/autovalores do sistema (raízes do denominador da função de transferência ou autovalores da matriz de estado).
- Para tempo contínuo verifique
de cada polo; para tempo discreto verifique de cada polo. - Classifique: se todos estritamente estáveis (
ou ) → assintoticamente estável; se algum com parte real positiva ou → instável; caso todos fronteira e polos na fronteira sejam simples → marginalmente estável; se houver polos repetidos na fronteira → instável. - Se necessário, verifique BIBO separadamente usando a integrabilidade de
(contínuo) ou somabilidade de (discreto).
Passo 9
Observações finais, encorajamento e pegadinhas comuns:
- Pegadinha 1: “polo em zero” costuma confundir — um polo simples em
é marginal; polo duplo em zero é instável. - Pegadinha 2: marginalmente estável não garante que toda entrada limitada gere saída limitada (BIBO) — verifique o enunciado.
- Pegadinha 3: sempre cheque multiplicidade dos polos na fronteira (eixo imaginário ou círculo unitário).
Você consegue: siga a lista do Passo 8 na prova e escreva claramente a localização e multiplicidade dos polos; isso costuma garantir pontos fáceis.
Resposta
Um sistema é marginalmente estável quando, na ausência de entrada, toda solução homogênea é limitada para todo tempo, mas existe pelo menos uma solução que não tende a zero quando o tempo vai ao infinito; equivalentemente, para sistemas LTI contínuos todos os polos têm
e quaisquer polos com
são simples (multiplicidade 1) — análogo em discreto: todos os polos têm
e quaisquer polos com
são simples.