Pesquise e defina:
c) Sistema marginalmente estável.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir claramente o que é “sistema marginalmente estável”.
Informações dadas: apenas a frase “Sistema marginalmente estável” — ou seja, devo pesquisar/explicar e dar uma definição didática e exemplos que me permitam identificar esse caso na prática.

Passo 2

Ideia essencial (sem resolver ainda): quando falamos de estabilidade de sistemas dinâmicos queremos saber se as respostas do sistema ficam limitadas com o tempo ou tendem a zero, dependendo das condições iniciais e das entradas. A definição de “marginalmente estável” descreve um caso intermediário entre “assintoticamente estável” (tudo decai para zero) e “instável” (alguma coisa cresce sem limite).

Passo 3

Conceito básico explicado com palavras simples:
  • Chamamos de resposta homogênea a evolução do sistema sem entrada (apenas com condições iniciais).
  • Um sistema é marginalmente estável quando, para toda condição inicial razoável, a resposta homogênea permanece limitada no tempo (não explode), mas existe pelo menos uma condição inicial cuja resposta não tende a zero quando t\to\infty. Em outras palavras: as soluções não crescem sem limite, porém algumas não desaparecem — ficam constantes ou oscilam indefinidamente. Vou traduzir isso em termos matemáticos e práticos nos próximos passos.

Passo 4

Definição formal (tempo contínuo, sistemas lineares invariantes no tempo — LTI): considere a solução geral da equação homogênea escrita como soma de modos exponenciais
x_h(t)=\sum_i c_i e^{p_i t},
onde \{p_i\} são os polos/autovalores do sistema e c_i dependem das condições iniciais.
  • Se todos os polos satisfazem \Re(p_i)<0, então cada termo e^{p_i t} tende a zero e o sistema é assintoticamente estável.
  • Se existe algum polo com \Re(p_i)>0, então algum termo cresce exponencialmente e o sistema é instável.
  • Se todos os polos têm \Re(p_i)\le 0 e todo polo com \Re(p_i)=0 é simples (multiplicidade 1), então os termos com \Re(p_i)=0 são do tipo e^{j\omega t} ou constante, que são limitados mas não decaem; nesse caso o sistema é marginalmente estável. Se algum polo com \Re(p_i)=0 tiver multiplicidade maior que 1, aparecem termos como t e^{j\omega t} (ou t constante) que crescem em módulo e tornam o sistema instável.
Explicação do porquê: um polo simples na borda imaginária gera um modo oscilatório de amplitude constante; um polo múltiplo na mesma borda gera um fator polinomial em t multiplicando a oscilação, gerando crescimento.

Passo 5

Versão para tempo discreto (LTI discreto com solução homogênea)
x_h[n]=\sum_i c_i n^{k_i} r_i^n,
onde \{r_i\} são os polos no plano z e k_i depende da multiplicidade. Condições análogas:
  • Se todos os polos satisfazem |r_i|<1 então o sistema é assintoticamente estável (modos decaem).
  • Se algum polo tem |r_i|>1 então o sistema é instável.
  • Se todos têm |r_i|\le 1 e os polos com |r_i|=1 são simples (multiplicidade 1), então o sistema é marginalmente estável (modos com |r_i|=1 geram oscilações/permanências limitadas). Se algum polo sobre o círculo unitário tiver multiplicidade >1, o termo n\cdot r^n cresce sem limite e o sistema é instável.

Passo 6

Exemplos concretos e intuitivos (são úteis na prova):
  • Exemplo contínuo 1: sistema com polos em p=\pm j\omega_0 (os dois polos simples na imaginação pura). A solução homogênea é combinação de \cos(\omega_0 t) e \sin(\omega_0 t): sinais oscilatórios de amplitude constante. Portanto o sistema é marginalmente estável.
  • Exemplo contínuo 2: polo simples em p=0. Modo contribuição c e^{0\cdot t}=c (constante) — limitado e não decai ⇒ marginalmente estável. Se o polo p=0 for duplo, aparece termo c_1 + c_2 t que cresce ⇒ instável.
  • Exemplo discreto: polo simples em z=e^{j\omega_0} (módulo 1) gera sequência oscilatória de amplitude constante ⇒ marginalmente estável. Se o polo em z=1 for repetido, surge fator n e a saída cresce ⇒ instável.

Passo 7

Relação com BIBO (entrada forçada): cuidado — marginalmente estável internamente nem sempre é BIBO estável. Para BIBO estabilidade de um sistema LTI contínuo precisamos que a resposta ao impulso h(t) seja absolutamente integrável:
\int_0^\infty |h(t)|\,dt < \infty.
Sistemas marginalmente estáveis (por exemplo com um polo simples em p=0) podem ter h(t) não integrável e, portanto, não ser BIBO estáveis. Por isso, ao analisar uma questão de prova, primeiro identifique se pedem estabilidade interna (modos) ou BIBO.

Passo 8

Procedimento prático que você pode usar na prova (check-list rápido):
  1. Encontre os polos/autovalores do sistema (raízes do denominador da função de transferência ou autovalores da matriz de estado).
  2. Para tempo contínuo verifique \Re(p) de cada polo; para tempo discreto verifique |r| de cada polo.
  3. Classifique: se todos estritamente estáveis ( \Re(p)<0 ou |r|<1) → assintoticamente estável; se algum com parte real positiva ou |r|>1 → instável; caso todos \le fronteira e polos na fronteira sejam simples → marginalmente estável; se houver polos repetidos na fronteira → instável.
  4. Se necessário, verifique BIBO separadamente usando a integrabilidade de h(t) (contínuo) ou somabilidade de h[n] (discreto).

Passo 9

Observações finais, encorajamento e pegadinhas comuns:
  • Pegadinha 1: “polo em zero” costuma confundir — um polo simples em p=0 é marginal; polo duplo em zero é instável.
  • Pegadinha 2: marginalmente estável não garante que toda entrada limitada gere saída limitada (BIBO) — verifique o enunciado.
  • Pegadinha 3: sempre cheque multiplicidade dos polos na fronteira (eixo imaginário ou círculo unitário).
    Você consegue: siga a lista do Passo 8 na prova e escreva claramente a localização e multiplicidade dos polos; isso costuma garantir pontos fáceis.

Resposta

Um sistema é marginalmente estável quando, na ausência de entrada, toda solução homogênea é limitada para todo tempo, mas existe pelo menos uma solução que não tende a zero quando o tempo vai ao infinito; equivalentemente, para sistemas LTI contínuos todos os polos têm \Re(p)\le 0 e quaisquer polos com \Re(p)=0 são simples (multiplicidade 1) — análogo em discreto: todos os polos têm |z|\le 1 e quaisquer polos com |z|=1 são simples.

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