Neste exercício, os traços das superficies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e determine se é uma elipse, parábola ou hipérbole.
4 x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 ; y=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas
4x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
e pede o traço obtido ao cortar por y=1. O conteúdo envolve seções cônicas: após substituir y=1 na equação da superfície, vamos obter uma curva no plano y=1 e classificar essa curva.

Passo 2

Substituindo y=1 na equação da superfície, temos
4x^{2}+(1)^{2}+z^{2}=4
ou seja
4x^{2}+z^{2}=3.

Passo 3

Para reconhecer o tipo de cônica, escrevemos em forma padrão dividindo tudo por 3:
\frac{4x^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{\tfrac{3}{4}}+\frac{z^{2}}{3}=1.
Como os coeficientes de x^{2} e z^{2} são positivos, trata-se de uma elipse.

Resposta

Equação do traço: 4x^{2}+z^{2}=3.\nÉ uma elipse.

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