Neste exercício, os traços das superficies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e determine se é uma elipse, parábola ou hipérbole.
9 x^{2}-y^{2}-z^{2}=16 ; z=2

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
9x^{2}-y^{2}-z^{2}=16
e pede o traço dessa superfície no plano z=2. Vamos substituir z=2 na equação da superfície e, em seguida, identificar de que seção cônica se trata.

Passo 2

Substituindo z=2 em
9x^{2}-y^{2}-z^{2}=16
obtemos
9x^{2}-y^{2}-(2)^{2}=16.

Passo 3

Como (2)^{2}=4, a equação fica
9x^{2}-y^{2}-4=16 \quad\Longrightarrow\quad 9x^{2}-y^{2}=20.

Passo 4

Para colocar em forma padrão dividimos ambos os lados por 20:
\frac{9x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{20}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{20/9}-\frac{y^{2}}{20}=1.
Como um termo é positivo e o outro é negativo, a curva é uma hipérbole.

Resposta

A equação do traço é
9x^{2}-y^{2}=20
e a seção cônica correspondente é uma hipérbole.

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