Neste exercício, usaremos o Teorema da Estimativa do Resto para determinar o número de termos que são necessários na Fórmula (14) para aproximar ln 2 com cinco casas decimais de precisão. Para esse propósito, seja
f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-\ln (1-x) \quad(-1<x<1)
(a) Mostre que
f^{(n+1)}(x)=n!\left[\frac{(-1)^{n}}{(1+x)^{n+1}}+\frac{1}{(1-x)^{n+1}}\right]
(b) Use a desigualdade triangular [Teorema 0.1.4(d), do Volume 1] para mostrar que
\left|f^{(n+1)}(x)\right| \leq n!\left[\frac{1}{(1+x)^{n+1}}+\frac{1}{(1-x)^{n+1}}\right]
(c) Uma vez que queremos obter até cinco casas decimais de precisão, nosso objetivo é escolher n de tal forma que o valor absoluto do enésimo resto em x=\frac{1}{3} não exceda o valor 0,000005=0,5 \times 10^{-5}; isto é, \left|R_{n}\left(\frac{1}{3}\right)\right| \leq 0,000005. Use o Teorema da Estimativa do Resto para mostrar que essa condição é satisfeita se n for escolhido tal que
\frac{M}{(n+1)!}\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \leq 0,000005
onde \left|f^{(n+1)}(x)\right| \leq M sobre o intervalo \left[0, \frac{1}{3}\right].
(d) Use o resultado da parte (b) para mostrar que M pode ser tomado como
M=n!\left[1+\frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}\right]
(e) Use o resultado das partes (c) e (d) para mostrar que até cinco casas decimais de precisão serão obtidas se n satisfizer
\frac{1}{n+1}\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right] \leq 0,000005
e, então, mostrar que o menor valor de n que satisfaz essa condição é n=13.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \ln2 pela série de Taylor de
f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)
em torno de x=0, avaliando em x=\tfrac13, e usar o Teorema da Estimativa do Resto para garantir cinco casas decimais de precisão. Vamos obter a expressão geral de f^{(n+1)}(x), estimar seu módulo, aplicar o teorema do resto em Lagrange e, finalmente, encontrar o menor n que torna \bigl|R_n(\tfrac13)\bigr|\le0,5\times10^{-5}.

Passo 2

Para encontrar f^{(n+1)}(x) note que
f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x),
logo
f'(x)=\frac1{1+x}+\frac1{1-x}.
Derivando repetidamente e usando indução vê-se que a cada derivada surge um fator -1 no termo (1+x)^{-k} e fator +1 no termo (1-x)^{-k}. Concluímos
f^{(n+1)}(x) =n!\,\Bigl[\frac{(-1)^{n}}{(1+x)^{n+1}}+\frac{1}{(1-x)^{n+1}}\Bigr].

Passo 3

Aplicando a desigualdade triangular em \displaystyle f^{(n+1)}(x)=n!\bigl[A(x)+B(x)\bigr] com A(x)=(-1)^n(1+x)^{-(n+1)} e B(x)=(1-x)^{-(n+1)}, obtemos
\bigl|f^{(n+1)}(x)\bigr| \le n!\,\Bigl[\frac{1}{(1+x)^{n+1}}+\frac{1}{(1-x)^{n+1}}\Bigr].

Passo 4

Pelo Teorema da Estimativa do Resto em Lagrange, para x=\tfrac13 existe \xi\in(0,\tfrac13) tal que
R_n\Bigl(\tfrac13\Bigr) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n+1},
logo, se M satisfaz \bigl|f^{(n+1)}(x)\bigr|\le M em [0,\tfrac13], basta garantir
\frac{M}{(n+1)!}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n+1}\le0,000005.

Passo 5

No intervalo 0\le x\le\tfrac13 temos \frac1{1+x}\le1 e \frac1{1-x}\le\frac1{2/3}=\tfrac32. Assim, da parte (b), um majorante é
M =n!\,\Bigl[1+\bigl(\tfrac32\bigr)^{\,n+1}\Bigr] =n!\,\Bigl[1+\frac1{\bigl(\tfrac23\bigr)^{\,n+1}}\Bigr].

Passo 6

Substituindo M na condição do resto,
\frac{n!\bigl[1+(\tfrac32)^{n+1}\bigr]}{(n+1)!}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n+1} \le0,000005 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{n+1}\Bigl[\bigl(\tfrac13\bigr)^{n+1}+\bigl(\tfrac13\bigr)^{n+1}\bigl(\tfrac32\bigr)^{n+1}\Bigr] \le0,000005.
Como \bigl(\tfrac13\bigr)^{n+1}\bigl(\tfrac32\bigr)^{n+1}=(\tfrac12)^{n+1}, a desigualdade fica
\frac{1}{n+1}\Bigl[\bigl(\tfrac13\bigr)^{n+1}+\bigl(\tfrac12\bigr)^{n+1}\Bigr]\le0,000005.

Passo 7

Calculamos para n=12 e n=13:
  • Para n=12: \displaystyle \frac{1}{13}\bigl[(\tfrac13)^{13}+(\tfrac12)^{13}\bigr]\approx9{,}5\times10^{-6}>5\times10^{-6}. - Para n=13: \displaystyle \frac{1}{14}\bigl[(\tfrac13)^{14}+(\tfrac12)^{14}\bigr]\approx4{,}4\times10^{-6}<5\times10^{-6}. Portanto, o menor n que garante cinco casas decimais é n=13.

Resposta

O menor valor de n que satisfaz a condição é 13.

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