Use a Fórmula (12) e o método do Exercício 19 para aproximar ln \left(\frac{5}{3}\right) com cinco casas decimais de precisão. Então, verifique seu trabalho comparando a sua resposta com aquela produzida diretamente de uma calculadora.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) com cinco casas decimais usando a fórmula (12) (que é a expansão em série de Taylor de \ln\bigl((1+u)/(1-u)\bigr)) e o método do Exercício 19 (que consiste em escolher u=(a-1)/(a+1) e usar o somatório truncado com estimativa de erro). Vamos usar:
\ln(a) \;=\; 2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{2k+1}}{2k+1},
com u=(a-1)/(a+1), e determinar quantos termos são necessários para obter erro abaixo de 5\times10^{-6}.

Passo 2

Calculemos u para a=5/3:
u = \frac{\tfrac{5}{3}-1}{\tfrac{5}{3}+1} = \frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{8}{3}} = \tfrac{1}{4} = 0,25.

Passo 3

A série fica
\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) = 2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(0,25)^{2k+1}}{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty}T_k,
onde
T_k = 2\,\frac{(0,25)^{2k+1}}{2k+1}.
O resto depois de n termos satisfaz
R_n \le \frac{2\,u^{2n+3}}{(2n+3)\bigl(1-u^2\bigr)}.

Passo 4

Vamos calcular sucessivamente T_k e as somas parciais S_n=\sum_{k=0}^nT_k, e verificar o erro: T_0 = 2\cdot0,25 = 0,5, S_0 = 0,5. T_1 = 2\frac{0,25^3}{3} = 0,010416667, S_1 = 0,510416667. T_2 = 2\frac{0,25^5}{5} = 0,000390625, S_2 = 0,510807292. T_3 = 2\frac{0,25^7}{7} \approx 0,0000174386, S_3 \approx 0,510824731. T_4 = 2\frac{0,25^9}{9} \approx 0,00000084771, S_4 \approx 0,510825579.
O termo seguinte T_5\approx2,17\times10^{-8} já é menor que 5\times10^{-6}, e o resto R_4 satisfaz
R_4 \le \frac{2\,(0,25)^{11}}{11\,(1-0,25^2)}\approx2{,}3\times10^{-8} <5\times10^{-6},
garantindo cinco casas decimais corretas em S_4.

Passo 5

Comparando com uma calculadora, \ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)\approx0,5108256.
Nossa soma S_4\approx0,51082558 difere em menos de 3\times10^{-8}, compatível com a estimativa de erro.

Resposta

\ln\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)\approx0,51083 (cinco casas decimais).

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