Neste exercício, usaremos o Teorema da Estimativa do Resto para determinar o número de termos que são necessários na Fórmula (14) para aproximar ln 2 com cinco casas decimais de precisão. Para esse propósito, seja f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-\ln (1-x) \quad(-1<x<1)
(a) Mostre que
(c) Uma vez que queremos obter até cinco casas decimais de precisão, nosso objetivo é escolher n de tal forma que o valor absoluto do enésimo resto em x=\frac{1}{3} não exceda o valor 0,000005=0,5 \times 10^{-5}; isto é, \left|R_{n}\left(\frac{1}{3}\right)\right| \leq 0,000005. Use o Teorema da Estimativa do Resto para mostrar que essa condição é satisfeita se n for escolhido tal que
onde \left|f^{(n+1)}(x)\right| \leq M sobre o intervalo \left[0, \frac{1}{3}\right].
(d) Use o resultado da parte (b) para mostrar que M pode ser tomado como
e, então, mostrar que o menor valor de n que satisfaz essa condição é n=13.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar \ln2 pela série de Taylor de
f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)
em torno de x=0, avaliando em x=\tfrac13, e usar o Teorema da Estimativa do Resto para garantir cinco casas decimais de precisão. Vamos obter a expressão geral de f^{(n+1)}(x), estimar seu módulo, aplicar o teorema do resto em Lagrange e, finalmente, encontrar o menor n que torna \bigl|R_n(\tfrac13)\bigr|\le0,5\times10^{-5}.
Passo 2
Para encontrar f^{(n+1)}(x) note que
f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x),
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f'(x)=\frac1{1+x}+\frac1{1-x}.
Derivando repetidamente e usando indução vê-se que a cada derivada surge um fator -1 no termo (1+x)^{-k} e fator +1 no termo (1-x)^{-k}. Concluímos
Para n=12: \displaystyle \frac{1}{13}\bigl[(\tfrac13)^{13}+(\tfrac12)^{13}\bigr]\approx9{,}5\times10^{-6}>5\times10^{-6}. - Para n=13: \displaystyle \frac{1}{14}\bigl[(\tfrac13)^{14}+(\tfrac12)^{14}\bigr]\approx4{,}4\times10^{-6}<5\times10^{-6}. Portanto, o menor n que garante cinco casas decimais é n=13.