Neste exercício, vamos utilizar a conhecida fórmula
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
para determinar o valor das integrais de Fresnel. Integrando a função f(z)=e^{-z^{2}} sobre a fronteira do setor circular S_{R, \pi / 4}: 0 \leq \theta \leq \pi / 4,0 \leq r \leq R e fazendo R \rightarrow \infty, mostre que
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x=\int_{0}^{\infty} \cos \left(x^{2}\right) d x=\frac{\sqrt{2 \pi}}{4}
mostrando que ambas valem \tfrac{\sqrt{2\pi}}{4}. Vamos aplicar o Teorema de Cauchy a f num contorno que é o setor 0\le\arg z\le\pi/4, de raio R, e depois deixar R\to\infty.
Passo 2
Considere o contorno \Gamma_R formado por três partes orientadas positivamente:
I_1: de 0 a R sobre o eixo real,
C_R: o arco |z|=R, 0\le\arg z\le\pi/4,
I_2: do ponto Re^{i\pi/4} de volta a 0 ao longo da reta \arg z=\pi/4.
Pelo Teorema de Cauchy, como f é inteira,