Neste exercício, vamos utilizar a conhecida fórmula
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
para determinar o valor das integrais de Fresnel. Integrando a função f(z)=e^{-z^{2}} sobre a fronteira do setor circular S_{R, \pi / 4}: 0 \leq \theta \leq \pi / 4,0 \leq r \leq R e fazendo R \rightarrow \infty, mostre que
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x=\int_{0}^{\infty} \cos \left(x^{2}\right) d x=\frac{\sqrt{2 \pi}}{4}

Passo 1

O enunciado quer que a gente use a função inteira
\!f(z)=e^{-z^2}
e o fato de
\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}{2}
para calcular as integrais de Fresnel
\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}(x^2)\,dx\quad\text{e}\quad\int_{0}^{\infty}\cos(x^2)\,dx
mostrando que ambas valem \tfrac{\sqrt{2\pi}}{4}. Vamos aplicar o Teorema de Cauchy a f num contorno que é o setor 0\le\arg z\le\pi/4, de raio R, e depois deixar R\to\infty.

Passo 2

Considere o contorno \Gamma_R formado por três partes orientadas positivamente:
  1. I_1: de 0 a R sobre o eixo real,
  2. C_R: o arco |z|=R, 0\le\arg z\le\pi/4,
  3. I_2: do ponto Re^{i\pi/4} de volta a 0 ao longo da reta \arg z=\pi/4.
    Pelo Teorema de Cauchy, como f é inteira,
\int_{I_1}f(z)\,dz+\int_{C_R}f(z)\,dz+\int_{I_2}f(z)\,dz=0.

Passo 3

Sobre I_1 temos
\int_{I_1}e^{-z^2}\,dz=\int_{0}^{R}e^{-x^2}\,dx \;\xrightarrow{R\to\infty}\; \frac{\sqrt\pi}{2}.

Passo 4

No arco C_R, usando uma estimação tipo Jordan vemos que
\biggl|\int_{C_R}e^{-z^2}\,dz\biggr| \le R\int_{0}^{\pi/4}e^{-R^2\cos(2\theta)}\,d\theta \;\xrightarrow{R\to\infty}\;0.

Passo 5

Na reta \arg z=\pi/4, parametrize z=t\,e^{i\pi/4} com t descendo de R a 0. Então
\int_{I_2}e^{-z^2}\,dz =\int_{t=R}^{0}e^{-t^2e^{i\pi/2}}\,e^{i\pi/4}\,dt =-\,e^{i\pi/4}\int_{0}^{R}e^{-i\,t^2}\,dt.

Passo 6

Somando as três partes e fazendo R\to\infty obtemos
\frac{\sqrt\pi}{2} \;+\;0 \;-\;e^{i\pi/4}\int_{0}^{\infty}e^{-i\,t^2}\,dt \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{\infty}e^{-i\,t^2}\,dt =e^{-i\pi/4}\,\frac{\sqrt\pi}{2}.

Passo 7

Escrevendo e^{-i\,t^2}=\cos(t^2)-i\,\operatorname{sen}(t^2) e
e^{-i\pi/4}=\frac{1-i}{\sqrt2},
temos
\int_{0}^{\infty}\cos(t^2)\,dt \;-\;i\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}(t^2)\,dt =\frac{\sqrt\pi}{2}\,\frac{1-i}{\sqrt2} =\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2} -\;i\,\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}.
Igualando parte real e parte imaginária, concluímos
\int_{0}^{\infty}\cos(x^2)\,dx =\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}(x^2)\,dx =\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2} =\frac{\sqrt{2\pi}}{4}.

Resposta

\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}(x^2)\,dx =\int_{0}^{\infty}\cos(x^2)\,dx =\frac{\sqrt{2\pi}}{4}.

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