Queståo 04 (6 pontos) Um objeto move-se em linha reta tem aceleração (em \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ) dada pela funçăo a(t)=2 t-3. Sabendo que sua velocidade inicial era v(0)=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a função velocidade instantânea desse objeto e a distância total percorrida por ele no intervalo de tempo 0 \leq t \leq 2 segundos.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração do objeto em linha reta como
a(t)=2t-3
e informa a condição inicial da velocidade \,v(0)=2.
Precisamos ( 1) obter a função velocidade v(t) integrando a(t) e usando v(0)=2; ( 2) calcular a distância total percorrida em 0\le t\le2, o que exige examinar o sinal de v(t) e integrar \lvert v(t)\rvert.

Passo 2

Integramos a(t) para achar v(t). Como
v(t)=\int a(t)\,\mathrm{d}t=\int(2t-3)\,\mathrm{d}t
temos uma primitiva
v(t)=t^2-\tfrac32\cdot2\,t +C = t^2-3t +C.
Usando v(0)=2
v(0)=0-0+C=2\quad\Longrightarrow\quad C=2.
Logo
\boxed{v(t)=t^2-3t+2.}

Passo 3

Para a distância total precisamos ver onde v(t) muda de sinal.
Resolvendo
v(t)=t^2-3t+2=0
fatoramos (t-1)(t-2)=0, daí t=1 e t=2.
Testando um ponto em (0,1), digamos t=0{,}5, achamos v(0{,}5)>0. Em (1,2), digamos t=1{,}5, obtemos v(1{,}5)<0.
Portanto, de t=0 a 1 o objeto avança, e de 1 a 2 ele retorna.

Passo 4

Definimos a primitiva de v(t) (que já tínhamos):
F(t)=\int v(t)\,\mathrm{d}t =\int(t^2-3t+2)\,\mathrm{d}t =\tfrac{t^3}{3}-\tfrac{3t^2}{2}+2t.
A distância percorrida de 0 a 1 é
\int_{0}^{1}v(t)\,\mathrm{d}t =F(1)-F(0) =\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{2}+2\Bigr)-0 =\tfrac{1}{3}-1{,}5+2 =\tfrac{5}{6}.
De 1 a 2, a integral de v(t) é
\int_{1}^{2}v(t)\,\mathrm{d}t =F(2)-F(1) =\Bigl(\tfrac{8}{3}-6+4\Bigr) -\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{2}+2\Bigr) =\tfrac{2}{3}-\tfrac{5}{6} =-\tfrac{1}{6}.
Como v(t)<0 nesse intervalo, a distância percorrida é o valor absoluto: \tfrac{1}{6}.

Passo 5

Somando as distâncias parciais, a distância total em 0\le t\le2 é
\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1.

Resposta

v(t) = t^{2} - 3t + 2
Distância total = 1 m.

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