Encontre as séries de Fourier das funções nos intervalos especificados.
f(x)=\frac{x^{2}}{4}, \quad-\pi<x<\pi

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de
f(x)=\frac{x^{2}}{4}
no intervalo -\pi<x<\pi.
Vamos usar a forma clássica da série de Fourier numa função periódica de período 2\pi:
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx) + b_{n}\sin(nx)\bigr),
onde
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Note que f é uma função par, logo todos os b_{n}=0 e as integrais podem ser feitas de 0 a \pi.

Passo 2

Cálculo de a_{0}.
a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x^{2}}{4}\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{x^{2}}{4}\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx.
Como
\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi} =\frac{\pi^{3}}{3},
temos
a_{0} =\frac{1}{2\pi}\,\frac{\pi^{3}}{3} =\frac{\pi^{2}}{6}.

Passo 3

Cálculo de a_{n} para n\ge1.
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x^{2}}{4}\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{x^{2}}{4}\cos(nx)\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx.
Chamemos
I=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx.
Fazendo duas integrações por partes, obtém-se
I=\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}.
Portanto
a_{n} =\frac{1}{2\pi}\,I =\frac{1}{2\pi}\,\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}} =\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 4

Como f é par, todos os b_{n}=0. Logo a série de Fourier fica
f(x) =\frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx) =\frac{\pi^{2}}{12} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx).

Resposta

\boxed{ \frac{x^{2}}{4} =\frac{\pi^{2}}{12} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx), \quad -\pi<x<\pi. }

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