Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Tomemos agora uma outra função phi2(x)=B x^2(L-x)^2. Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização B.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente normalizar a função de onda
phi2(x) ;=; B,x^2,(L - x)^2
numa “caixa” de 0 a . Isso é parte de mecânica quântica, na parte de funções de onda — aqui a gente só vai usar cálculo para garantir que
.

Passo 2

Escrever a condição de normalização:
integral0^L l|phi2(x)r|^2 dx ;=; integral0^L l[B,x^2,(L-x)^2r]^2 dx ;=; B^2 integral0^L x^4 (L-x)^4 ,dx ;=;1
Ou seja, precisamos calcular
.

Passo 3

Para resolver integral0^L x^p-1(L-x)^q-1dx = L^p+q-1,B(p,q) podemos usar a fórmula da Beta ou expandir, mas o jeito mais rápido é reconhecer:
I = L^5+5-1,B(5,5) = L^9,Gamma(5),Gamma(5)Gamma(10) = L^9;4!,4!9!
com I = L^9 ;24cdot24362880 = L^9 ;576362880 = L^9630 .
Aqui e , logo
Sabendo e , temos

Passo 4

Voltando na normalização:
B^2;I = 1 Longrightarrow B^2,L^9630 = 1 Longrightarrow B^2 = 630L^9 Longrightarrow B = raiz630L^9
A gente escolhe o sinal positivo para .

Resposta

boxedB = raiz630L^9 = raiz630L^9/2,

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