Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento . Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo , valem:
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões e , ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Tomemos agora uma outra função . Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente normalizar a função de onda
numa “caixa” de 0 a . Isso é parte de mecânica quântica, na parte de funções de onda — aqui a gente só vai usar cálculo para garantir que .
Passo 2
Escrever a condição de normalização:
Ou seja, precisamos calcular .
Passo 3
Para resolver integral0^L x^p-1(L-x)^q-1dx = L^p+q-1,B(p,q) podemos usar a fórmula da Beta ou expandir, mas o jeito mais rápido é reconhecer:
I = L^5+5-1,B(5,5) = L^9,Gamma(5),Gamma(5)Gamma(10) = L^9;4!,4!9!
com I = L^9 ;24cdot24362880 = L^9 ;576362880 = L^9630 .
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