Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa
que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento
. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo
, valem:
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões
e
, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Utilizando a função de onda
normalizada, calcule o valor esperado da energia total, ou seja, calcule:
Compare seu resultado ao valor exato da energia do estado fundamental, para isso calcule
.
Utilizando a função de onda
Passo 1
Beleza, vamos lá: temos uma partícula num poço infinito 1D de comprimento L. A solução exata do estado fundamental é
com energia
Aqui o rolê é usar uma função de teste , já normalizada, e calcular
,
onde . Depois a gente compara com
e vê a diferença percentual. Para resolver, vamos precisar:
com energia
Aqui o rolê é usar uma função de teste
onde
- escolher a
, - normalizar,
- calcular a esperança de energia através de integrais de polinômios,
- comparar com o valor exato.
Passo 2
Escolhendo a função de teste. Um palpite clássico para o poço 1D é
que satisfaz
. O parâmetro
garante a normalização:
Passo 3
Normalizando
. Primeiro montamos a integral:
Vamos calcular
Integramos termo a termo:
Somando:
Logo
Passo 4
Cálculo de
. Para funções que se anulam nas fronteiras vale
Então
Derivando
:
Então
Agora a integral
Multiplicando por
:
Portanto
Passo 5
Comparando com o valor exato
:
A diferença percentual é
Resposta
A aproximação dá