Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Utilizando a função de onda phi1(x) normalizada, calcule o valor esperado da energia total, ou seja, calcule:
lang<=Hrang<=1=integral0^L phi1 H phi1 d x onde H=-hbar^22 m d^2d x^2
Compare seu resultado ao valor exato da energia do estado fundamental, para isso calcule lang<=Hrang<=1-E1E1 times 100 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá: temos uma partícula num poço infinito 1D de comprimento L. A solução exata do estado fundamental é

com energia

Aqui o rolê é usar uma função de teste , já normalizada, e calcular
,
onde . Depois a gente compara com e vê a diferença percentual. Para resolver, vamos precisar:
  1. escolher a ,
  2. normalizar,
  3. calcular a esperança de energia através de integrais de polinômios,
  4. comparar com o valor exato.

Passo 2

Escolhendo a função de teste. Um palpite clássico para o poço 1D é
phi1(x) = A,x,(L - x), 0<= x<= L,
que satisfaz integral0^L |phi1(x)|^2,dx = 1 . O parâmetro garante a normalização:

Passo 3

Normalizando integral0^L A^2,x^2,(L - x)^2,dx = A^2integral0^L x^2(L^2 - 2Lx + x^2),dx . Primeiro montamos a integral:
I = integral0^L x^2(L^2 - 2Lx + x^2),dx = integral0^L (L^2x^2 - 2Lx^3 + x^4),dx
Vamos calcular
integral0^L L^2x^2 dx = L^2L^33 = L^53, integral0^L -2Lx^3 dx = -2LL^44 = -L^52, integral0^L x^4 dx = L^55
Integramos termo a termo:
I = L^53 - L^52 + L^55 = L^5l(tfrac13 - tfrac12 + tfrac15r) = L^5l(tfrac10 - 15 + 630r) = L^530
Somando:
A^2,L^530 = 1 Rightarrow A = raiz30L^5
Logo

Passo 4

Cálculo de integral0^L phi,l(-tfracd^2dx^2r)phi,dx = integral0^L l(tfracdphidxr)^2 dx . Para funções que se anulam nas fronteiras vale
lang<= Hrang<=1 = -hbar^22mintegral0^L phi1,phi1'',dx = hbar^22mintegral0^L l(phi1'(x)r)^2 dx
Então
phi1'(x) = A(L - 2x)
Derivando l(phi1'r)^2 = A^2(L - 2x)^2 = A^2,(L^2 - 4Lx +4x^2) :
integral0^L (L - 2x)^2 dx = integral0^L (L^2 -4Lx +4x^2),dx = L^2,L -4L,tfracL^22 +4,tfracL^33 = L^3 -2L^3 +tfrac4L^33 = tfrac13L^3
Então
integral0^L (phi1')^2 dx = A^2,L^33 = 30L^5,L^33 = 10L^2
Agora a integral
lang<= Hrang<=1 = hbar^22m,10L^2 = 5,hbar^2m,L^2
Multiplicando por :
Portanto

Passo 5

Comparando com o valor exato lang<= Hrang<=1 = 5,hbar^2mL^2, E1approx4,9348,hbar^2mL^2 :
lang<= Hrang<=1 - E1E1times100% = 5 - 4,93484,9348times100% approx 1,3%
A diferença percentual é

Resposta

A aproximação dá
boxedlang<= Hrang<=1 = 5,hbar^2mL^2, com erro relativo de cerca de 1,3%

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