Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa
que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento
. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo
, valem:
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões
e
, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Utilizando a função de onda
normalizada, calcule o valor esperado da energia total
. Novamente, compare com
.
■ Combinação linear de funções de onda. Vamos utilizar uma função de onda teste que é uma combinação linear das funções de onda normalizadas utilizadas anteriormente.
Utilizando a função de onda
■ Combinação linear de funções de onda. Vamos utilizar uma função de onda teste que é uma combinação linear das funções de onda normalizadas utilizadas anteriormente.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: a questão é sobre uma partícula numa caixa 1D de comprimento
. Já sabemos que a solução exata do estado fundamental é
com energia
com energia
O exercício pede primeiro pra usar a função de onda do segundo nível normalizada,
, e calcular o valor esperado da energia
. Depois, a gente vai montar uma combinação linear
e ver como o princípio variacional funciona nessa base de duas funções.
Para isso precisaremos:
• A definição de valor esperado de energia .
• Saber que é autovetor de
com autovalor
.
• No caso da combinação linear, construir a matriz Hamiltoniana e usar ortonormalidade.
Para isso precisaremos:
• A definição de valor esperado de energia
• Saber que
• No caso da combinação linear, construir a matriz Hamiltoniana e usar ortonormalidade.
Passo 2
Teoria do valor esperado:
Mas como
é exatamente o autoestado de
de segunda energia
, vale
Então
já que
está normalizada.
Passo 3
Agora escrevendo
em relação a
:
Para o estado ,
.
Logo,
Para o estado
Logo,
Passo 4
Comparação rápida:
, ou seja, usar
dá energia muito maior que o verdadeiro estado fundamental
. Não é uma boa aproximação para o ground state.
Passo 5
Agora a combinação linear
– princípio variacional na base
: montamos a matriz
Como
são autovetores ortonormais,
Passo 6
O valor esperado de energia para
fica
com a condição de normalização
Para minimizar
em
, basta observar que
. Como
, o mínimo rola quando
e
. Aí
Resposta
•
• Na combinação linear , o valor mínimo de
é
, obtido em
.
• Na combinação linear