Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Utilizando a função de onda phi2(x) normalizada, calcule o valor esperado da energia total lang<=Hrang<=2. Novamente, compare com E1.
■ Combinação linear de funções de onda. Vamos utilizar uma função de onda teste que é uma combinação linear das funções de onda normalizadas utilizadas anteriormente.
psi=C phi1+D phi2

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: a questão é sobre uma partícula numa caixa 1D de comprimento E1=pi^22,hbar^2mL^2approx4,9348,hbar^2mL^2 . Já sabemos que a solução exata do estado fundamental é
psi=C,phi1+D,phi2
com energia
O exercício pede primeiro pra usar a função de onda do segundo nível normalizada, , e calcular o valor esperado da energia . Depois, a gente vai montar uma combinação linear
e ver como o princípio variacional funciona nessa base de duas funções.
Para isso precisaremos:
• A definição de valor esperado de energia .
• Saber que é autovetor de com autovalor .
• No caso da combinação linear, construir a matriz Hamiltoniana e usar ortonormalidade.

Passo 2

Teoria do valor esperado:
lang<= hat Hrang<=2 ;=;integral0^L phi2^*(x),hat H,phi2(x),dx
Mas como hat H,phi2 = E2,phi2 é exatamente o autoestado de lang<= hat Hrang<=2 =integral0^L phi2^*,E2,phi2,dx =E2integral0^L|phi2|^2dx =E2cdot1 =E2, de segunda energia , vale
Então
já que está normalizada.

Passo 3

Agora escrevendo E2 = 2^2pi^22,hbar^2mL^2 =4;pi^22,hbar^2mL^2 =4,E1 approx4times4,9348 =19,7392;hbar^2mL^2 em relação a :
Para o estado , .
Logo,

Passo 4

Comparação rápida:
, ou seja, usar dá energia muito maior que o verdadeiro estado fundamental . Não é uma boa aproximação para o ground state.

Passo 5

Agora a combinação linear
psi(x)=C,phi1(x)+D,phi2(x)
– princípio variacional na base Hij=lang<=phii|hat H|phijrang<=, Sij=lang<=phii|phijrang<= : montamos a matriz
Sij=de
Como são autovetores ortonormais,

Passo 6

O valor esperado de energia para lang<= Hrang<= =C^2E1 + D^2E2, fica
C^2+D^2=1
com a condição de normalização
lang<= Hrang<=min=E1
Para minimizar em , basta observar que . Como , o mínimo rola quando e . Aí

Resposta


• Na combinação linear , o valor mínimo de é , obtido em .

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