Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá uma superfície e um plano e pede a equação do traço (interseção) e a classificação da seção cônica. Informações fornecidas:
- Superfície:
. - Plano:
.
O que se pede:
- Obter a equação do traço da superfície pelo plano
. - Dizer se esse traço é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Passo 2
Ideia básica (sem resolver ainda): o traço é a curva obtida impondo a condição do plano na equação da superfície. Como o plano fixa
, a equação resultante será uma equação em
e
(duas variáveis) que representa uma cônica no plano
. O próximo passo é substituir
na equação da superfície.
Passo 3
Substituir
em
. Fazendo a substituição obtemos:
Passo 4
Calcular e simplificar a equação obtida no passo anterior:
Somando
em ambos os lados:
Passo 5
Colocar a equação na forma padrão de cônica (normalizar para o lado direito igual a
). Dividindo ambos os lados por
:
Reescrevendo os denominadores como quadrados de semi-eixos:
Passo 6
Interpretação e classificação:
- A forma
com
e
é a forma padrão de uma elipse centrada na origem do sistema de coordenadas
daquele plano. Aqui os dois termos quadráticos têm coeficientes positivos e o lado direito é positivo, portanto a cônica é uma elipse não degenerada.
- No nosso caso os semi-eixos são
(na direção ) e (na direção ). Como , o eixo maior da elipse está na direção (no plano ). - Centro da elipse no espaço tridimensional: como a equação em
está centrada em e o plano é , o centro da elipse é o ponto em .
Passo 7
Breve resumo didático sobre como reconhecer rapidamente o tipo de cônica obtida por interseção:
- Se, ao substituir o valor de
, a equação em e tiver ambos os termos quadráticos com o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) e o lado direito for diferente de zero, é uma elipse. - Se os termos quadráticos tiverem sinais opostos (um positivo e outro negativo) e o lado direito for diferente de zero, é uma hipérbole.
- Se apenas um termo quadrático aparecer efetivamente (ou puder ser reduzido a um caso com um quadrado isolado), é uma parábola.
Exemplos rápidos:
Resposta
Elipse