Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
9 x^{2}-y^{2}+4 z^{2}=9 ; y=4

Passo 1

O enunciado dá uma superfície e um plano e pede a equação do traço (interseção) e a classificação da seção cônica. Informações fornecidas:
  • Superfície: 9x^{2}-y^{2}+4z^{2}=9.
  • Plano: y=4.
O que se pede:
  • Obter a equação do traço da superfície pelo plano y=4.
  • Dizer se esse traço é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.

Passo 2

Ideia básica (sem resolver ainda): o traço é a curva obtida impondo a condição do plano na equação da superfície. Como o plano fixa y, a equação resultante será uma equação em x e z (duas variáveis) que representa uma cônica no plano y=4. O próximo passo é substituir y=4 na equação da superfície.

Passo 3

Substituir y=4 em 9x^{2}-y^{2}+4z^{2}=9. Fazendo a substituição obtemos:
9x^{2}-4^{2}+4z^{2}=9.

Passo 4

Calcular e simplificar a equação obtida no passo anterior:
9x^{2}-16+4z^{2}=9.
Somando 16 em ambos os lados:
9x^{2}+4z^{2}=25.

Passo 5

Colocar a equação na forma padrão de cônica (normalizar para o lado direito igual a 1). Dividindo ambos os lados por 25:
\frac{9x^{2}}{25}+\frac{4z^{2}}{25}=1.
Reescrevendo os denominadores como quadrados de semi-eixos:
\frac{x^{2}}{\left(\tfrac{5}{3}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(\tfrac{5}{2}\right)^{2}}=1.

Passo 6

Interpretação e classificação:
  • A forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1
com a>0 e b>0 é a forma padrão de uma elipse centrada na origem do sistema de coordenadas (x,z) daquele plano. Aqui os dois termos quadráticos têm coeficientes positivos e o lado direito é positivo, portanto a cônica é uma elipse não degenerada.
  • No nosso caso os semi-eixos são a=\tfrac{5}{3} (na direção x) e b=\tfrac{5}{2} (na direção z). Como b>a, o eixo maior da elipse está na direção z (no plano y=4).
  • Centro da elipse no espaço tridimensional: como a equação em x,z está centrada em x=0,z=0 e o plano é y=4, o centro da elipse é o ponto (0,4,0) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Breve resumo didático sobre como reconhecer rapidamente o tipo de cônica obtida por interseção:
  • Se, ao substituir o valor de y, a equação em x e z tiver ambos os termos quadráticos com o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) e o lado direito for diferente de zero, é uma elipse.
  • Se os termos quadráticos tiverem sinais opostos (um positivo e outro negativo) e o lado direito for diferente de zero, é uma hipérbole.
  • Se apenas um termo quadrático aparecer efetivamente (ou puder ser reduzido a um caso com um quadrado isolado), é uma parábola.
    Exemplos rápidos:
x^{2}+z^{2}=1\quad\text{(elipse, neste caso círculo).}í
x^{2}-z^{2}=1\quad\text{(hipérbole).}é
z=x^{2}\quad\text{(parábola).}á

Resposta

9x^{2}+4z^{2}=25
Elipse

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