Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície e o plano onde queremos o traço. As informações são:
- Superfície:
. - Plano:
.
O pedido é: obter a equação do traço (interseção da superfície com o plano
) e dizer se esse traço é uma elipse, parábola ou hipérbole.
Passo 2
Para achar o traço, substitui-se a equação do plano na equação da superfície. Substituindo
em
obtém-se
Passo 3
Simplificando a expressão do passo anterior:
ou seja
Passo 4
Colocar em forma padrão de cônica ajuda a identificar o tipo. Dividindo ambos os lados por
temos
Reescrevendo o segundo quociente:
Passo 5
Explicação didática sobre classificação de cônicas (ferramenta que serve numa prova):
- Uma cônica geral no plano tem a forma
. O discriminante indica o tipo: -
elipse (ou círculo, caso especial), -
parábola, -
hipérbole.
-
- No nosso caso, a equação é
, logo , , . Calculando
portanto o traço é uma elipse.
Passo 6
Mais informação útil para desenhar/entender a elipse (útil em prova):
- Interceptos com os eixos: para
obtemos . Para obtemos . - Assim a elipse está centrada na origem
do plano , com semi-eixo maior na direção e semi-eixo menor na direção .
Resposta
Elipse