Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
x^{2}+4 y^{2}-9 z^{2}=0 ; z=1

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície e o plano onde queremos o traço. As informações são:
  • Superfície: x^{2}+4y^{2}-9z^{2}=0.
  • Plano: z=1.
O pedido é: obter a equação do traço (interseção da superfície com o plano z=1) e dizer se esse traço é uma elipse, parábola ou hipérbole.

Passo 2

Para achar o traço, substitui-se a equação do plano na equação da superfície. Substituindo z=1 em
x^{2}+4y^{2}-9z^{2}=0
obtém-se
x^{2}+4y^{2}-9(1)^{2}=0.

Passo 3

Simplificando a expressão do passo anterior:
x^{2}+4y^{2}-9=0
ou seja
x^{2}+4y^{2}=9.

Passo 4

Colocar em forma padrão de cônica ajuda a identificar o tipo. Dividindo ambos os lados por 9 temos
\frac{x^{2}}{9}+\frac{4y^{2}}{9}=1.
Reescrevendo o segundo quociente:
\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{(3/2)^{2}}=1.

Passo 5

Explicação didática sobre classificação de cônicas (ferramenta que serve numa prova):
  • Uma cônica geral no plano tem a forma Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0. O discriminante \Delta = B^{2}-4AC indica o tipo:
    • \Delta<0 \Rightarrow elipse (ou círculo, caso especial),
    • \Delta=0 \Rightarrow parábola,
    • \Delta>0 \Rightarrow hipérbole.
  • No nosso caso, a equação é x^{2}+4y^{2}-9=0, logo A=1, B=0, C=4. Calculando
\Delta = 0^{2}-4\cdot1\cdot4 = -16 < 0,
portanto o traço é uma elipse.

Passo 6

Mais informação útil para desenhar/entender a elipse (útil em prova):
  • Interceptos com os eixos: para y=0 obtemos x^{2}=9\Rightarrow x=\pm3. Para x=0 obtemos 4y^{2}=9\Rightarrow y=\pm\frac{3}{2}.
  • Assim a elipse está centrada na origem (0,0) do plano z=1, com semi-eixo maior a=3 na direção x e semi-eixo menor b=\tfrac{3}{2} na direção y.

Resposta

x^{2}+4y^{2}=9
Elipse

Exercícios relacionados