Questão 14. Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede calcular a derivada
da função dada. As informações que temos são:
- A função
é
- O objetivo é obter uma expressão para
.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função em potências de
. Isso facilita o uso da regra da potência para derivar. Fazendo a divisão:
Então a função fica
Agora escrevemos as frações como potências com expoentes negativos:
Portanto
Passo 3
Vou lembrar duas propriedades básicas de derivação que vamos usar:
- Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
, então . - Regra da potência: para qualquer real
,
Nessa regra,
é a variável e
é o expoente; por exemplo, para
tem-se
.
Passo 4
Aplicando a linearidade e a regra da potência termo a termo em
:
- Derivada de
: usando a regra da potência com ,
- Derivada de
: usando a regra da potência com ,
- Derivada de
: usando a regra da potência com ,
Passo 5
Somando as derivadas dos termos, obtemos
Passo 6
Se desejar, podemos escrever essa expressão com denominador comum
. Multiplicando e somando:
então