Questão 14. Calcule frac{d y}{d x} :
y=\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada \dfrac{d y}{d x} da função dada. As informações que temos são:
  • A função y é
y=\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{1}{x^{3}}.
  • O objetivo é obter uma expressão para \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função em potências de x. Isso facilita o uso da regra da potência para derivar. Fazendo a divisão:
\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}.
Então a função fica
y = x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}.
Agora escrevemos as frações como potências com expoentes negativos:
\frac{1}{x}=x^{-1},\qquad \frac{1}{x^{3}}=x^{-3}.
Portanto
y = x + x^{-1} + x^{-3}.

Passo 3

Vou lembrar duas propriedades básicas de derivação que vamos usar:
  1. Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se y=u+v+w, então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}+\dfrac{dw}{dx}.
  2. Regra da potência: para qualquer real n,
\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}.
Nessa regra, x é a variável e n é o expoente; por exemplo, para n=-1 tem-se \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}.

Passo 4

Aplicando a linearidade e a regra da potência termo a termo em y=x+x^{-1}+x^{-3}:
  • Derivada de x: usando a regra da potência com n=1,
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^{0}=1.
  • Derivada de x^{-1}: usando a regra da potência com n=-1,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
  • Derivada de x^{-3}: usando a regra da potência com n=-3,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}\bigr)=-3\cdot x^{-4}=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^{4}}.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos, obtemos
\frac{d y}{d x}=1 - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}.

Passo 6

Se desejar, podemos escrever essa expressão com denominador comum x^{4}. Multiplicando e somando:
1 = \frac{x^{4}}{x^{4}},\qquad \frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{4}},
então
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{4}}{x^{4}}-\frac{x^{2}}{x^{4}}-\frac{3}{x^{4}}=\frac{x^{4}-x^{2}-3}{x^{4}}.

Resposta

\frac{d y}{d x}=1-\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x^{4}}=\frac{x^{4}-x^{2}-3}{x^{4}}

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