O nível médio de hemoglobina em determinada população de aves é considerado 13 \mathrm{~g} / \mathrm{dL}. Uma amostra aleatória de 25 aves apresentou média de 12,4 \mathrm{~g} / \mathrm{dL} e desvio padrão amostral de 1,5 \mathrm{~g} / \mathrm{dL}. Construa um intervalo de confiança de 99 \% para o nível médio de hemoglobina, decida se a hipótese nula deve ser rejeitado ou não e interprete biologicamente o resultado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Construir um intervalo de confiança de 99\% para o nível médio de hemoglobina na população de aves.
  • Decidir se, com base na amostra, devemos rejeitar a hipótese nula H_0\colon \mu=13\\ \mathrm{g/dL}.
  • Interpretar biologicamente o resultado.
Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Média amostral: \bar{x}=12,4\\ \mathrm{g/dL}.
  • Desvio padrão amostral: s=1,5\\ \mathrm{g/dL}.
  • Nível de confiança: 99\% (logo significância \alpha=0,01 para um teste bilateral).

Passo 2

Por que usar qual procedimento? Explico de forma bem didática. Quando queremos construir um intervalo de confiança para a média \mu e o desvio padrão populacional \sigma é desconhecido (é o caso aqui), usamos a distribuição t de Student, não a normal, especialmente quando a amostra é relativamente pequena. Aqui n=25 (pequena o suficiente para preferir t). A fórmula geral do intervalo de confiança com t é:
\bar{x} \pm t_{1-\alpha/2,\;df}\,\frac{s}{\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=12,4).
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=1,5).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
  • df são os graus de liberdade, df=n-1 (aqui df=24).
  • t_{1-\alpha/2,\;df} é o quantil da distribuição t tal que a área acima dele é \alpha/2. Para um intervalo de 99\%, \alpha=0,01 e precisamos de t_{0,995,24}.

Passo 3

Vou encontrar o valor crítico t_{0,995,24}. Consultando uma tabela da t (ou usando calculadora estatística), com df=24 e área superior \alpha/2=0,005, obtemos:
t_{0,995,24}\approx 2,797
(Isto é um valor padrão da tabela de Student.)

Passo 4

Calcular a margem de erro (ME) passo a passo:
A parte s/\sqrt{n} vale
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1,5}{\sqrt{25}}=\frac{1,5}{5}=0,3.
Multiplicando pelo t crítico:
\text{ME}=t_{0,995,24}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,797\times 0,3\approx 0,8391.
Agora o intervalo de confiança de 99\% é
\bar{x}\pm \text{ME} = 12,4 \pm 0,8391.
Calculando os extremos:
\text{Limite inferior}=12,4-0,8391\approx 11,5609,
\text{Limite superior}=12,4+0,8391\approx 13,2391.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (útil em relatórios biológicos):
\text{IC}_{99\%}\approx \bigl(11,56,\;13,24\bigr)\\ \mathrm{g/dL}.

Passo 5

Decisão do teste de hipótese usando o mesmo nível de confiança (relações entre CI e teste):
  • Hipóteses:
H_0\colon \mu=13\\ \mathrm{g/dL}\quad\text{vs}\quad H_1\colon \mu\neq 13\\ \mathrm{g/dL}.
  • Uma forma simples e direta: verificar se o valor hipotetizado \mu_0=13 está contido no intervalo de confiança de 99\%. Como 13 está entre 11,56 e 13,24, o valor é plausível àquele nível de confiança.
Para ser completo, aplico o teste t padronizado e mostro que dá a mesma conclusão. Estatística de teste:
t_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{12,4-13}{0,3}=\frac{-0,6}{0,3}=-2,0.
Comparando com os críticos para \alpha=0,01 (bilateral): t_{\text{crit}}=\pm 2,797. Como |t_{\text{obs}}|=2,0<2,797, não rejeitamos H_0 ao nível de 1\%. As duas abordagens (CI e teste) coincidem: não há evidência estatística suficiente para rejeitar H_0 com \alpha=0,01.

Passo 6

Interpretação biológica (didática e amigável): o intervalo de confiança de 99\% indica que, com alta confiança, o verdadeiro nível médio de hemoglobina na população de aves está entre cerca de 11,56 e 13,24\\ \mathrm{g/dL}. Como o valor histórico/esperado 13\\ \mathrm{g/dL} está dentro desse intervalo, a amostra não fornece evidência forte para concluir que a média populacional é diferente de 13\\ \mathrm{g/dL} quando se exige um nível de confiança muito alto ( 99\%). Em termos práticos: embora a média amostral 12,4 seja um pouco menor que 13, a variação natural (desvio amostral 1,5) faz com que essa diferença não seja estatisticamente significativa ao nível estrito de 1\%. Portanto, não se pode afirmar com alta confiança que houve mudança real no nível médio de hemoglobina da população — podemos dizer que o resultado é compatível com a média tradicional de 13\\ \mathrm{g/dL}.
Um comentário de incentivo: fica tranquilo — os números estão bem próximos; se o objetivo fosse detectar pequenas diferenças com alta segurança, seria preciso aumentar o tamanho da amostra.

Resposta

Intervalo de confiança de 99\%: \bigl(11,56,\;13,24\bigr)\\ \mathrm{g/dL}
Decisão sobre H_0\colon\mu=13: não rejeitar H_0 ao nível de significância \alpha=0,01
Interpretação biológica: a amostra não fornece evidência forte para afirmar que a média populacional difere de 13\\ \mathrm{g/dL}; o valor 13 é compatível com o intervalo de confiança de 99\%.

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