A tabela abaixo apresenta dados relativos ao nível de escolaridade (medido pelo número de anos de estudo) e o salário mensal (em R$) de 10 indivíduos. Suponha que o salário médio de um indivíduo seja linearmente relacionado à escolaridade do mesmo.
X 4 7 8 9 11 12 13 14 15 16
Y 420 450 600 620 700 1000 1200 1600 2000 2500
Considere os seguintes somatórios:
n=10, \sum X_{i}=109, \sum X_{i}^{2}=1321, \sum Y_{i}=11090, \sum Y_{i}^{2}=16863300, \sum X_{i} Y_{i}=142910
Pede-se:
(a) Determine a equação da reta de regressão linear simples ajustada.
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear.
(c) Interprete o coeficiente angular no contexto do problema.
(d) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da tabela e os somatórios fornecidos).
  • Dados (pego da tabela / do enunciado):
    • n=10
    • \sum X_{i}=109
    • \sum X_{i}^{2}=1321
    • \sum Y_{i}=11090
    • \sum Y_{i}^{2}=16863300
    • \sum X_{i}Y_{i}=142910
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determinar a equação da reta de regressão linear simples ajustada (ou seja, encontrar o intercepto e a inclinação de \hat{Y}=a+bX).
    (b) Calcular o coeficiente de correlação linear r.
    (c) Interpretar o coeficiente angular b no contexto (o que significa em termos de salário por ano de estudo).
    (d) Calcular o coeficiente de determinação R^{2} e interpretá-lo (quanto da variação de Y é explicada por X).

Passo 2

Apresento as fórmulas que vou usar e explico cada termo (aqui eu ensino a teoria necessária).
  • Modelo de regressão linear simples: \hat{Y}=a+bX, onde:
    • \hat{Y} é o valor previsto de Y (salário) dado X (anos de estudo),
    • a é o intercepto (valor previsto de Y quando X=0),
    • b é a inclinação (coeficiente angular), que representa a mudança média em Y quando X aumenta uma unidade.
  • Fórmulas para estimadores a partir dos somatórios (método dos mínimos quadrados): b=\frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2}
a=\bar{Y}-b\,\bar{X}
com médias amostrais:
\bar{X}=\frac{\sum X_i}{n},\qquad \bar{Y}=\frac{\sum Y_i}{n}.
  • Para o coeficiente de correlação linear r (medida padrão entre -1 e 1): r=\frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{\sqrt{\big(n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2\big)\big(n\sum Y_i^2 - (\sum Y_i)^2\big)}}.Aqui o numerador é proporcional à covariância amostral e o denominador normaliza pelos desvios (produz um valor adimensional).
  • O coeficiente de determinação é R^2 = r^2,que representa a fração da variância de Y explicada pelo modelo linear com X.

Passo 3

Calculo as médias \bar{X} e \bar{Y} (passo necessário para o intercepto e para entendimento):
\bar{X}=\frac{\sum X_i}{n}=\frac{109}{10}=10{,}9.
\bar{Y}=\frac{\sum Y_i}{n}=\frac{11090}{10}=1109.
Explicação curta: \bar{X} é a média dos anos de estudo e \bar{Y} é a média dos salários.

Passo 4

Calculo a inclinação b usando a fórmula e os somatórios fornecidos (vou desenvolver as contas passo a passo).
  • Primeiro o numerador:
n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)=10\cdot142910 - 109\cdot11090.
Calculo intermediário:
10\cdot142910=1429100,
109\cdot11090=109\cdot11090=1\,208\,810.
Então o numerador é
1429100-1\,208\,810=220\,290.
  • Agora o denominador:
n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2 = 10\cdot1321 - 109^2.
Calculo:
10\cdot1321=13\,210, \qquad 109^2=11\,881,
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13\,210-11\,881=1\,329.
  • Portanto
b=\frac{220\,290}{1\,329}\approx165{,}7567.
Interpretação numérica: a inclinação estimada é b\approx165{,}76 (unidade: reais por ano de estudo).

Passo 5

Calculo o intercepto a (com a média e a inclinação já obtidas):
a=\bar{Y}-b\,\bar{X}=1109 - 165{,}7567\cdot10{,}9.
Calculo:
165{,}7567\cdot10{,}9 \approx 1\,806{,}748,
a \approx 1109 - 1\,806{,}748 \approx -697{,}748.
Arredondando razoavelmente, a\approx -697{,}75. Explicação: intercepto negativo é comum em regressão quando a reta extrapolada até X=0 dá valor negativo; isso indica que para X=0 (zero anos de estudo) o modelo prevê salário negativo, o que é apenas uma extrapolação fora da faixa de dados e não deve ser interpretada literalmente.

Passo 6

Escrevo a equação da reta de regressão ajustada (resultado do item (a)):
\hat{Y}=a+bX\approx -697{,}75 + 165{,}76\,X.
Explicação prática: dado X anos de estudo, a previsão do salário mensal é aproximadamente -697{,}75 + 165{,}76X reais.

Passo 7

Calculo o coeficiente de correlação r (item (b)), desenvolvendo todas as contas:
  • Já temos o numerador (mesmo do b): 220\,290.
  • Calculo n\sum Y_i^2 - (\sum Y_i)^2:
n\sum Y_i^2 - (\sum Y_i)^2 = 10\cdot16\,863\,300 - 11090^2.
Intermediários:
10\cdot16\,863\,300=168\,633\,000,
11090^2=122\,988\,100,
então
168\,633\,000 - 122\,988\,100 = 45\,644\,900.
  • Já tínhamos n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2=1\,329.
  • Assim o denominador do r é
\sqrt{1\,329\cdot45\,644\,900}.
Calculo aproximado da raiz:
\sqrt{1\,329\cdot45\,644\,900}\approx246\,320{,}7.
  • Finalmente
r=\frac{220\,290}{246\,320{,}7}\approx0{,}8944.
Interpretação curta: r\approx0{,}894 indica uma correlação positiva forte entre anos de estudo e salário.

Passo 8

Calculo o coeficiente de determinação R^2 (item (d)) e interpreto:
R^2 = r^2 \approx (0{,}8944)^2 \approx 0{,}8000.
Interpretação: cerca de 80\% da variação total dos salários dos indivíduos é explicada linearmente pelos anos de estudo, segundo este modelo. Os 20\% restantes representam variação não explicada pelo modelo linear (outros fatores, ruído, etc.).

Passo 9

Interpretação do coeficiente angular b no contexto (item (c)) — ensino prático de como falar na prova:
  • b\approx165{,}76 significa: “Em média, cada ano adicional de estudo está associado a um aumento de aproximadamente R$ 165{,}76 no salário mensal previsto.”
  • Obs.: tratar como efeito médio e condicional; não significa causalidade direta sem mais evidências. Também mencionar, como nota prática, que extrapolações (muitos anos além da amostra) devem ser feitas com cautela.

Resposta

(a) \hat{Y}\approx -697{,}75 + 165{,}76\,X
(b) r\approx 0{,}8944
(c) O coeficiente angular indica que, em média, cada ano adicional de estudo aumenta o salário mensal previsto em aproximadamente R$ 165{,}76.
(d) R^{2}\approx 0{,}8000 (ou 80\%; interpreta-se como cerca de 80\% da variação dos salários sendo explicada pelos anos de estudo pelo modelo linear).

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