A tabela abaixo apresenta dados relativos ao nível de escolaridade (medido pelo número de anos de estudo) e o salário mensal (em R$) de 10 indivíduos. Suponha que o salário médio de um indivíduo seja linearmente relacionado à escolaridade do mesmo.
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620
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2000
2500
Considere os seguintes somatórios:
Pede-se:
(a) Determine a equação da reta de regressão linear simples ajustada.
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear.
(c) Interprete o coeficiente angular no contexto do problema.
(d) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o.
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420 | 450 | 600 | 620 | 700 | 1000 | 1200 | 1600 | 2000 | 2500 |
(a) Determine a equação da reta de regressão linear simples ajustada.
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear.
(c) Interprete o coeficiente angular no contexto do problema.
(d) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da tabela e os somatórios fornecidos).
- Dados (pego da tabela / do enunciado):
-
- O que o enunciado pede:
(a) Determinar a equação da reta de regressão linear simples ajustada (ou seja, encontrar o intercepto e a inclinação de).
(b) Calcular o coeficiente de correlação linear.
(c) Interpretar o coeficiente angularno contexto (o que significa em termos de salário por ano de estudo).
(d) Calcular o coeficiente de determinaçãoe interpretá-lo (quanto da variação de é explicada por ).
Passo 2
Apresento as fórmulas que vou usar e explico cada termo (aqui eu ensino a teoria necessária).
- Modelo de regressão linear simples:
, onde: -
é o valor previsto de (salário) dado (anos de estudo), -
é o intercepto (valor previsto de quando ), -
é a inclinação (coeficiente angular), que representa a mudança média em quando aumenta uma unidade.
-
- Fórmulas para estimadores a partir dos somatórios (método dos mínimos quadrados):
com médias amostrais:
- Para o coeficiente de correlação linear
(medida padrão entre e ): Aqui o numerador é proporcional à covariância amostral e o denominador normaliza pelos desvios (produz um valor adimensional). - O coeficiente de determinação é
que representa a fração da variância de explicada pelo modelo linear com .
Passo 3
Calculo as médias
e
(passo necessário para o intercepto e para entendimento):
Explicação curta:
é a média dos anos de estudo e
é a média dos salários.
Passo 4
Calculo a inclinação
usando a fórmula e os somatórios fornecidos (vou desenvolver as contas passo a passo).
- Primeiro o numerador:
Calculo intermediário:
Então o numerador é
- Agora o denominador:
Calculo:
logo
- Portanto
Interpretação numérica: a inclinação estimada é
(unidade: reais por ano de estudo).
Passo 5
Calculo o intercepto
(com a média e a inclinação já obtidas):
Calculo:
Arredondando razoavelmente,
. Explicação: intercepto negativo é comum em regressão quando a reta extrapolada até
dá valor negativo; isso indica que para
(zero anos de estudo) o modelo prevê salário negativo, o que é apenas uma extrapolação fora da faixa de dados e não deve ser interpretada literalmente.
Passo 6
Escrevo a equação da reta de regressão ajustada (resultado do item (a)):
Explicação prática: dado
anos de estudo, a previsão do salário mensal é aproximadamente
reais.
Passo 7
Calculo o coeficiente de correlação
(item (b)), desenvolvendo todas as contas:
- Já temos o numerador (mesmo do
): . - Calculo
:
Intermediários:
então
- Já tínhamos
. - Assim o denominador do
é
Calculo aproximado da raiz:
- Finalmente
Interpretação curta:
indica uma correlação positiva forte entre anos de estudo e salário.
Passo 8
Calculo o coeficiente de determinação
(item (d)) e interpreto:
Interpretação: cerca de
da variação total dos salários dos indivíduos é explicada linearmente pelos anos de estudo, segundo este modelo. Os
restantes representam variação não explicada pelo modelo linear (outros fatores, ruído, etc.).
Passo 9
Interpretação do coeficiente angular
no contexto (item (c)) — ensino prático de como falar na prova:
-
significa: “Em média, cada ano adicional de estudo está associado a um aumento de aproximadamente R$ no salário mensal previsto.” - Obs.: tratar como efeito médio e condicional; não significa causalidade direta sem mais evidências. Também mencionar, como nota prática, que extrapolações (muitos anos além da amostra) devem ser feitas com cautela.
Resposta
(a)
(b)
(c) O coeficiente angular indica que, em média, cada ano adicional de estudo aumenta o salário mensal previsto em aproximadamente R$ .
(d) (ou
; interpreta-se como cerca de
da variação dos salários sendo explicada pelos anos de estudo pelo modelo linear).
(b)
(c) O coeficiente angular indica que, em média, cada ano adicional de estudo aumenta o salário mensal previsto em aproximadamente R$
(d)