Em uma população de plantas, acredita-se que
apresentem resistência a determinada praga. Em um experimento com 150 plantas, 96 mostraram resistência. Construa um intervalo de confiança de
para a verdadeira proporção de plantas resistentes, decida se a hipótese nula deve ser rejeitado ou não e interprete o resultado no contexto do problema.
Passo 1
Dados e o que o enunciado pede (peguei estes números do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Número de plantas resistentes observadas:
. - Acredita‑se que a proporção verdadeira seja
, isto é .
O enunciado pede:
- Construir um intervalo de confiança de
para a verdadeira proporção de plantas resistentes. - Decidir se a hipótese nula deve ser rejeitada ou não (assumindo aqui a hipótese nula natural dada pela crença):
contra . - Interpretar o resultado no contexto do problema.
Passo 2
Calcular a proporção amostral e explicar o que ela significa.
- A proporção amostral é
.
Explicação:é a melhor estimativa pontual da proporção verdadeira ; aqui a amostra sugere que das plantas são resistentes.
Passo 3
Verificar se podemos usar a aproximação normal para proporções (condição para usar o intervalo e o teste z).
- Calcular
e .
Como ambos são maiores que 5, a aproximação normal pelo teorema do limite central é razoável.
Passo 4
Construir o intervalo de confiança de
.
- Fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal):
onde
é a proporção amostral,
é o tamanho da amostra e
é o quantil da normal padrão. Para
,
.
- Calcular a variância amostral e o erro padrão:
- Margem de erro:
- Intervalo:
Arredondando a três casas decimais:
. Em porcentagem:
a
.
Passo 5
Fazer o teste de hipótese
versus
(teste bilateral) e explicar o procedimento.
- Para testar
usamos o estatístico z:
onde no denominador usamos
porque é a hipótese que estamos assumindo para calcular a variabilidade sob
.
- Calcular o erro padrão sob
:
- Calcular
:
- Calcular o p‑valor (teste bilateral):
- Decisão: com nível de significância
, como , não rejeitamos . Observação alternativa: está dentro do intervalo de confiança de , o que é coerente com não rejeitar .
Passo 6
Interpretação no contexto (linguagem clara e amigável).
- O intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de plantas resistentes é aproximadamente . Isso significa que, com base nesta amostra, valores plausíveis para a proporção verdadeira de resistência estão entre e . - O teste de hipótese indica que não há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para rejeitar a afirmação de que a proporção verdadeira seja . Em outras palavras, embora a estimativa amostral seja (um pouco abaixo de ), essa diferença não é grande o bastante, dadas as variações amostrais, para concluir que a proporção verdadeira difere de . - Conclusão prática: os dados são compatíveis com a crença original de que cerca de
das plantas sejam resistentes; não há prova estatística, com esses 150 indivíduos, de que a proporção real seja diferente.
Resposta
Intervalo de confiança de
para
:
(ou
a
).
Decisão sobre : não rejeitar
ao nível
(p‑valor
).
Interpretação: não há evidência estatística suficiente para afirmar que a verdadeira proporção difere de ; os dados são compatíveis com uma proporção entre
e
.
Decisão sobre
Interpretação: não há evidência estatística suficiente para afirmar que a verdadeira proporção difere de