Em uma população de plantas, acredita-se que 70 \% apresentem resistência a determinada praga. Em um experimento com 150 plantas, 96 mostraram resistência. Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a verdadeira proporção de plantas resistentes, decida se a hipótese nula deve ser rejeitado ou não e interprete o resultado no contexto do problema.

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede (peguei estes números do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=150.
  • Número de plantas resistentes observadas: X=96.
  • Acredita‑se que a proporção verdadeira seja 70\%, isto é p_0=0,7.
    O enunciado pede:
  1. Construir um intervalo de confiança de 95\% para a verdadeira proporção de plantas resistentes.
  2. Decidir se a hipótese nula deve ser rejeitada ou não (assumindo aqui a hipótese nula natural dada pela crença): H_0:\,p=0,7 contra H_a:\,p\neq0,7.
  3. Interpretar o resultado no contexto do problema.

Passo 2

Calcular a proporção amostral e explicar o que ela significa.
  • A proporção amostral é \displaystyle \hat p=\frac{X}{n}=\frac{96}{150}=0,64.
    Explicação: \hat p é a melhor estimativa pontual da proporção verdadeira p; aqui a amostra sugere que 64\% das plantas são resistentes.

Passo 3

Verificar se podemos usar a aproximação normal para proporções (condição para usar o intervalo e o teste z).
  • Calcular n\hat p=150\cdot0,64=96 e n(1-\hat p)=150\cdot0,36=54.
    Como ambos são maiores que 5, a aproximação normal pelo teorema do limite central é razoável.

Passo 4

Construir o intervalo de confiança de 95\%.
  • Fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal):
\hat p \pm z_{\,\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde \hat p é a proporção amostral, n é o tamanho da amostra e z_{\,\alpha/2} é o quantil da normal padrão. Para 95\%, z_{\,\alpha/2}\approx1,96.
  • Calcular a variância amostral e o erro padrão:
\hat p(1-\hat p)=0,64\cdot0,36=0,2304,
\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}=\frac{0,2304}{150}=0,001536,
\text{erro padrão }SE=\sqrt{0,001536}\approx0,0392.ã
  • Margem de erro:
m=1,96\cdot SE\approx1,96\cdot0,0392\approx0,0768.
  • Intervalo:
\text{limite inferior }=0,64-0,0768=0,5632,
\text{limite superior }=0,64+0,0768=0,7168.
Arredondando a três casas decimais: (0,563;\;0,717). Em porcentagem: 56{,}3\% a 71{,}7\%.

Passo 5

Fazer o teste de hipótese H_0:\,p=0,7 versus H_a:\,p\neq0,7 (teste bilateral) e explicar o procedimento.
  • Para testar H_0 usamos o estatístico z:
z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}},
onde no denominador usamos p_0 porque é a hipótese que estamos assumindo para calcular a variabilidade sob H_0.
  • Calcular o erro padrão sob H_0:
p_0(1-p_0)=0,7\cdot0,3=0,21,
\frac{p_0(1-p_0)}{n}=\frac{0,21}{150}=0,0014,
SE_{H_0}=\sqrt{0,0014}\approx0,037416.
  • Calcular z:
z=\frac{0,64-0,7}{0,037416}=\frac{-0,06}{0,037416}\approx-1,604.
  • Calcular o p‑valor (teste bilateral):
\text{p‑valor}=2\Pr(Z\le -1,604)\approx2\cdot0,0546\approx0,1092.
  • Decisão: com nível de significância \alpha=0,05, como \text{p‑valor}\approx0,1092>0,05, não rejeitamos H_0. Observação alternativa: p_0=0,7 está dentro do intervalo de confiança de 95\%, o que é coerente com não rejeitar H_0.

Passo 6

Interpretação no contexto (linguagem clara e amigável).
  • O intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira de plantas resistentes é aproximadamente (0,563;\;0,717). Isso significa que, com base nesta amostra, valores plausíveis para a proporção verdadeira de resistência estão entre 56{,}3\% e 71{,}7\%.
  • O teste de hipótese indica que não há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para rejeitar a afirmação de que a proporção verdadeira seja 70\%. Em outras palavras, embora a estimativa amostral seja 64\% (um pouco abaixo de 70\%), essa diferença não é grande o bastante, dadas as variações amostrais, para concluir que a proporção verdadeira difere de 70\%.
  • Conclusão prática: os dados são compatíveis com a crença original de que cerca de 70\% das plantas sejam resistentes; não há prova estatística, com esses 150 indivíduos, de que a proporção real seja diferente.

Resposta

Intervalo de confiança de 95\% para p: (0,563;\;0,717) (ou 56{,}3\% a 71{,}7\%).
Decisão sobre H_0: p=0,7: não rejeitar H_0 ao nível \alpha=0,05 (p‑valor \approx0,109).
Interpretação: não há evidência estatística suficiente para afirmar que a verdadeira proporção difere de 70\%; os dados são compatíveis com uma proporção entre 56{,}3\% e 71{,}7\%.

Exercícios relacionados