O nível n de óleo de um reservatório varia com o tempo t, contado em horas, conforme a equação: n = t² + 5t - 24 = 0. Em quanto tempo o nível de óleo chegará a zero?
a) 3 horas
b) 4 horas
c) 5 horas
d) 8 horas
a) 3 horas
b) 4 horas
c) 5 horas
d) 8 horas
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde o nível de óleo num reservatório muda com o tempo, medido em horas. A equação que descreve isso é $ n = t^2 + 5t - 24 = 0 $. Nosso objetivo é descobrir em quanto tempo, ou seja, qual valor de $ t $, o nível de óleo vai chegar a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações quadráticas, que são aquelas com $ t^2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação: $ t^2 + 5t - 24 = 0 $. Essa é uma equação do segundo grau, onde a gente quer encontrar o valor de $ t $ que faz com que a expressão seja igual a zero. Pra resolver isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara.
Passo 3
A fórmula de Bhaskara é $ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $, onde $ a $, $ b $ e $ c $ são os coeficientes da equação $ at^2 + bt + c = 0 $. No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = 5 $ e $ c = -24 $.
Passo 4
Vamos calcular o discriminante, que é $ \Delta = b^2 - 4ac $. Substituindo os valores:
Como o discriminante é positivo, sabemos que a equação tem duas raízes reais.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos $ t_2 = -8 $ horas. Portanto, a solução válida é $ t = 3 $ horas.
Resposta
A resposta correta é a opção a) 3 horas.