No nível do solo, uma bomba é disparada com velocidade inicial igual a
, a
sobre a horizontal e sem sofrer resistência significativa do ar. (a) Ache as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial da bomba. (b) Quanto tempo ela leva para atingir o ponto mais alto? (c) Ache sua altura máxima sobre o solo. (d) A que distância do seu
ponto de disparo a bomba aterrissa? (e) no ponto mais alto, ache os componentes horizontal e vertical da sua aceleração e velocidade.
ponto de disparo a bomba aterrissa? (e) no ponto mais alto, ache os componentes horizontal e vertical da sua aceleração e velocidade.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede as perguntas abaixo.
-
Dados fornecidos:
- Velocidade inicial:
. - Direção do lançamento:
acima da horizontal. - Não há resistência do ar (movimento do projétil sob aceleração constante da gravidade).
- Tomarei a aceleração da gravidade como
apontando para baixo (convencional).
- Velocidade inicial:
-
Perguntas pedidas:
(a) Ache as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial da bomba.
(b) Quanto tempo ela leva para atingir o ponto mais alto?
(c) Ache sua altura máxima sobre o solo.
(d) A que distância do seu ponto de disparo a bomba aterrissa (alcance horizontal)?
(e) No ponto mais alto, ache as componentes horizontal e vertical da sua aceleração e da sua velocidade.
Passo 2
Entender como decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical (resposta da letra (a)).
-
Ideia: a velocidade inicial
forma um ângulo com a horizontal. As componentes são obtidas usando trigonometria: - componente horizontal:
, - componente vertical:
.
- componente horizontal:
-
Aplicando os valores
e : -
Lembrando os valores trigonométricos exatos:
e . Então Valores numéricos aproximados (para intuição):
Passo 3
Calcular o tempo até o ponto mais alto (letra (b)).
-
Conceito usado: a velocidade vertical varia com o tempo segundo a equação cinemática (para aceleração constante):onde
é a componente vertical da velocidade no tempo . -
No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero, ou seja
. Assim: -
Substituindo
e : Calculando numericamente:
Passo 4
Calcular a altura máxima (letra (c)).
-
Duas fórmulas úteis; uso a mais direta aqui: relação entre velocidade inicial vertical e altura máxima (derivada de
): -
Substituindo
: -
Calculando numericamente:
-
Observação pedagógica rápida: também daria o mesmo resultado usando
com .
Passo 5
Calcular o alcance horizontal (letra (d)).
-
Primeiro achar o tempo total de voo
. Para lançamento e aterrissagem ao mesmo nível, a trajetória é simétrica: o tempo de subida é metade do tempo total. Assim -
A distância horizontal (alcance) é dada por movimento horizontal com velocidade constante
: -
Substituindo
e : -
Alternativa curta (fórmula conhecida para alcance):
. Com , que é o mesmo que acima. -
Valor numérico:
Passo 6
Componentes da velocidade e da aceleração no ponto mais alto (letra (e)).
-
Velocidade:
- Componente horizontal da velocidade é constante durante todo o percurso (pois não há aceleração horizontal):
- Componente vertical no ponto mais alto é zero por definição:
- Componente horizontal da velocidade é constante durante todo o percurso (pois não há aceleração horizontal):
-
Aceleração:
- A aceleração do projétil é a aceleração da gravidade, que é vertical para baixo e constante. Portanto
- Essas componentes valem em qualquer instante, inclusive no ponto mais alto.
- A aceleração do projétil é a aceleração da gravidade, que é vertical para baixo e constante. Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) No ponto mais alto:
(b)
(c)
(d)
(e) No ponto mais alto: