Num parque de diversões, uma mulher desloca-se numa roda gigante com 15 m de raio, completando cinco voltas em torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Quais são (a) o período do movimento, (b) o módulo e (c) o sentido de sua aceleração centrípeta no ponto mais alto, e (d) o módulo e (e) o sentido de sua aceleração no ponto mais baixo?
Passo 1
O enunciado dá uma roda gigante com raio
e diz que a mulher completa
voltas por minuto. As perguntas são:
(a) qual o período do movimento;
(b) o módulo da aceleração centrípeta no ponto mais alto;
(c) o sentido dessa aceleração no ponto mais alto;
(d) o módulo da aceleração no ponto mais baixo;
(e) o sentido dessa aceleração no ponto mais baixo.
(a) qual o período do movimento;
(b) o módulo da aceleração centrípeta no ponto mais alto;
(c) o sentido dessa aceleração no ponto mais alto;
(d) o módulo da aceleração no ponto mais baixo;
(e) o sentido dessa aceleração no ponto mais baixo.
Informações relevantes dadas:
- raio:
(peguei do enunciado). - frequência de voltas:
voltas por minuto (peguei do enunciado).
Passo 2
Definir período e converter unidades. O período
é o tempo que a mulher leva para dar uma volta completa. Se ela dá
voltas por minuto, então o tempo para uma volta é:
Explicação didática: aqui foi usada a relação direta entre minutos e segundos (1 minuto = 60 s). Fazer
dá o tempo de uma volta em segundos, que é o período.
Passo 3
Definir velocidade angular
e calcular. A velocidade angular relaciona quantas radianos são percorridos por segundo. Uma volta completa corresponde a
radianos. A relação entre
e o período
é
Substituindo
,
Didática:
serve para ligar movimento circular com as fórmulas de velocidade e aceleração;
vem do número de radianos numa volta completa.
Passo 4
Calcular a velocidade tangencial
. A relação entre velocidade tangencial, velocidade angular e raio é
Substituindo os valores,
Didática:
é a velocidade instantânea ao longo da circunferência; toma-se
em rad/s multiplicado por
em metros para obter
em m/s.
Passo 5
Introduzir a fórmula da aceleração centrípeta e o que ela significa. Para movimento circular uniforme a aceleração centrípeta (módulo) pode ser escrita de duas formas equivalentes:
Explicação didática: a aceleração centrípeta é sempre dirigida para o centro da trajetória, e seu propósito é mudar a direção da velocidade (não sua magnitude) para manter o objeto descrevendo a circunferência.
Passo 6
Calcular o módulo da aceleração usando
. Usando
e
,
Valor numérico aproximado:
Didática: a forma
é muitas vezes mais direta quando já se tem
. Também poderia-se usar
e obter o mesmo número.
Passo 7
Aplicar aos pontos extremos (mais alto e mais baixo). Lembrando: a aceleração centrípeta sempre aponta para o centro da roda.
- No ponto mais alto: o centro da roda está abaixo do ponto. Logo, a aceleração centrípeta aponta para baixo (direção do centro). O módulo é igual ao calculado:
. - No ponto mais baixo: o centro da roda está acima do ponto. Logo, a aceleração centrípeta aponta para cima (direção do centro). O módulo é o mesmo:
.
Didática sobre sentido: centrípeta significa “para o centro” — independentemente de estar em cima ou embaixo, o vetor de aceleração aponta sempre em direção ao centro da trajetória.
Passo 8
Resumo e checagem rápida: período
(conferido pelo cálculo
). Aceleração centrípeta obtida tanto por
quanto por
dá o mesmo valor (a consistência é um bom sinal de que os cálculos estão corretos). Mantém-se atenção ao fato de que o sentido muda conforme a posição, mas o módulo permanece o mesmo.
Resposta
(a)
(b)
(c) sentido: para baixo (ou seja, dirigido ao centro da roda)
(d)
(e) sentido: para cima (ou seja, dirigido ao centro da roda)
(b)
(c) sentido: para baixo (ou seja, dirigido ao centro da roda)
(d)
(e) sentido: para cima (ou seja, dirigido ao centro da roda)