Num parque de diversões, uma mulher desloca-se numa roda gigante com 15 m de raio, completando cinco voltas em torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Quais são (a) o período do movimento, (b) o módulo e (c) o sentido de sua aceleração centrípeta no ponto mais alto, e (d) o módulo e (e) o sentido de sua aceleração no ponto mais baixo?

Passo 1

O enunciado dá uma roda gigante com raio 15\\ \text{m} e diz que a mulher completa 5 voltas por minuto. As perguntas são:
(a) qual o período do movimento;
(b) o módulo da aceleração centrípeta no ponto mais alto;
(c) o sentido dessa aceleração no ponto mais alto;
(d) o módulo da aceleração no ponto mais baixo;
(e) o sentido dessa aceleração no ponto mais baixo.
Informações relevantes dadas:
  • raio: r=15\\ \text{m} (peguei do enunciado).
  • frequência de voltas: 5 voltas por minuto (peguei do enunciado).

Passo 2

Definir período e converter unidades. O período T é o tempo que a mulher leva para dar uma volta completa. Se ela dá 5 voltas por minuto, então o tempo para uma volta é:
T=\frac{60\\ \text{s}}{5}=12\\ \text{s}.
Explicação didática: aqui foi usada a relação direta entre minutos e segundos (1 minuto = 60 s). Fazer 60\div5 dá o tempo de uma volta em segundos, que é o período.

Passo 3

Definir velocidade angular \omega e calcular. A velocidade angular relaciona quantas radianos são percorridos por segundo. Uma volta completa corresponde a 2\pi radianos. A relação entre \omega e o período T é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=12\\ \text{s},
\omega=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\\ \text{rad/s}\approx0,524\\ \text{rad/s}.
Didática: \omega serve para ligar movimento circular com as fórmulas de velocidade e aceleração; 2\pi vem do número de radianos numa volta completa.

Passo 4

Calcular a velocidade tangencial v. A relação entre velocidade tangencial, velocidade angular e raio é
v=\omega r.
Substituindo os valores,
v=\frac{\pi}{6}\cdot15=\frac{15\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}\\ \text{m/s}\approx7,854\\ \text{m/s}.
Didática: v é a velocidade instantânea ao longo da circunferência; toma-se \omega em rad/s multiplicado por r em metros para obter v em m/s.

Passo 5

Introduzir a fórmula da aceleração centrípeta e o que ela significa. Para movimento circular uniforme a aceleração centrípeta (módulo) pode ser escrita de duas formas equivalentes:
a_c=\frac{v^2}{r}\qquad\text{ou}\qquad a_c=\omega^2 r.
Explicação didática: a aceleração centrípeta é sempre dirigida para o centro da trajetória, e seu propósito é mudar a direção da velocidade (não sua magnitude) para manter o objeto descrevendo a circunferência.

Passo 6

Calcular o módulo da aceleração usando \omega^2 r. Usando \omega=\dfrac{\pi}{6} e r=15,
a_c=\omega^2 r=\left(\frac{\pi}{6}\right)^2\cdot15=\frac{\pi^2}{36}\cdot15=\frac{5\pi^2}{12}\\ \text{m/s}^2.
Valor numérico aproximado:
a_c\approx4,11\\ \text{m/s}^2.
Didática: a forma \omega^2 r é muitas vezes mais direta quando já se tem \omega. Também poderia-se usar a_c=v^2/r e obter o mesmo número.

Passo 7

Aplicar aos pontos extremos (mais alto e mais baixo). Lembrando: a aceleração centrípeta sempre aponta para o centro da roda.
  • No ponto mais alto: o centro da roda está abaixo do ponto. Logo, a aceleração centrípeta aponta para baixo (direção do centro). O módulo é igual ao calculado: a_c=\dfrac{5\pi^2}{12}\\ \text{m/s}^2\approx4,11\\ \text{m/s}^2.
  • No ponto mais baixo: o centro da roda está acima do ponto. Logo, a aceleração centrípeta aponta para cima (direção do centro). O módulo é o mesmo: a_c=\dfrac{5\pi^2}{12}\\ \text{m/s}^2\approx4,11\\ \text{m/s}^2.
Didática sobre sentido: centrípeta significa “para o centro” — independentemente de estar em cima ou embaixo, o vetor de aceleração aponta sempre em direção ao centro da trajetória.

Passo 8

Resumo e checagem rápida: período T=12\\ \text{s} (conferido pelo cálculo 60/5). Aceleração centrípeta obtida tanto por \omega^2 r quanto por v^2/r dá o mesmo valor (a consistência é um bom sinal de que os cálculos estão corretos). Mantém-se atenção ao fato de que o sentido muda conforme a posição, mas o módulo permanece o mesmo.

Resposta

(a) T=12\\ \text{s}
(b) a_c=\dfrac{5\pi^2}{12}\\ \text{m/s}^2\approx4,11\\ \text{m/s}^2
(c) sentido: para baixo (ou seja, dirigido ao centro da roda)
(d) a_c=\dfrac{5\pi^2}{12}\\ \text{m/s}^2\approx4,11\\ \text{m/s}^2
(e) sentido: para cima (ou seja, dirigido ao centro da roda)

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