Um projétil é atirado horizontalmente de um canhão que está 90 m acima de um terreno plano, emergindo com uma velocidade de 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar? (b) A que distância horizontal do ponto de disparo ele atinge o terreno? (c) Qual o módulo da componente vertical de sua velocidade quando ele atinge o terreno?

Passo 1

Informações que o enunciado dá:
  • A altura inicial do canhão (logo a altura inicial do projétil) é 90\\ \text{m}.
  • A velocidade inicial é horizontal e vale 500\\ \text{m/s}. Ou seja, a componente horizontal inicial é v_{0x}=500\\ \text{m/s} e a componente vertical inicial é v_{0y}=0.
  • O terreno é plano (assume-se nível onde y=0 quando o projétil atinge o solo).
O enunciado pede:
(a) o tempo que o projétil permanece no ar;
(b) a distância horizontal percorrida até atingir o terreno;
(c) o módulo da componente vertical da velocidade no instante do impacto.
Vou usar a aceleração da gravidade g=9,8\\ \text{m/s}^2 (valor usual).

Passo 2

Ideia física e equações que vamos usar (separando os movimentos):
  • Movimento horizontal: não há aceleração (desprezando resistência do ar), logo a velocidade horizontal é constante. A posição horizontal é
x(t)=v_{0x}\,t,
onde x(t) é a distância horizontal medida desde o ponto de disparo e t é o tempo desde o disparo.
  • Movimento vertical: é um movimento uniformemente acelerado com aceleração -g (para baixo). A equação da posição vertical é
y(t)=y_0+v_{0y}\,t-\frac{1}{2}gt^2,
onde y(t) é a altura no instante t, y_0 é a altura inicial ( 90\\ \text{m}), v_{0y} é a componente vertical inicial (aqui 0), e g é a aceleração da gravidade.
Explicando as variáveis de forma simples:
  • y_0 = altura inicial = 90\\ \text{m}.
  • v_{0y} = velocidade vertical inicial = 0.
  • g = 9,8\\ \text{m/s}^2.
  • t = tempo desde o disparo (o que procuramos na parte (a)).

Passo 3

Calcular o tempo de queda (parte (a)). O projétil atinge o terreno quando y(t)=0. Substituindo na equação vertical:
0 = y_0 + v_{0y}\,t - \frac{1}{2} g t^2.
Como v_{0y}=0 e y_0=90, fica
0 = 90 - \frac{1}{2} g t^2.
Isolando t^2:
\frac{1}{2} g t^2 = 90
t^2 = \frac{2\cdot 90}{g} = \frac{180}{g}.
Portanto
t = \sqrt{\frac{180}{g}}.
Substituindo g=9,8:
t = \sqrt{\frac{180}{9,8}}.
Podemos simplificar exatamente reconhecendo \frac{180}{9,8}=\frac{900}{49}, então
t=\sqrt{\frac{900}{49}}=\frac{30}{7}\\ \text{s}\approx 4,2857\\ \text{s}.

Passo 4

Calcular a distância horizontal (parte (b)). Usamos x(t)=v_{0x}\,t. Substituindo v_{0x}=500\\ \text{m/s} e t=\dfrac{30}{7}\\ \text{s}:
x = 500\cdot\frac{30}{7}=\frac{15000}{7}\\ \text{m}\approx 2142,8571\\ \text{m}.
Arredondando para valores práticos, x\approx 2142,9\\ \text{m} (ou cerca de 2{,}14\\ \text{km}).

Passo 5

Calcular o módulo da componente vertical da velocidade no impacto (parte (c)). A velocidade vertical em instante t é dada por
v_y(t)=v_{0y}-g t.
Como v_{0y}=0, no instante do impacto t=\dfrac{30}{7} temos
v_y = -g\cdot\frac{30}{7}.
O sinal negativo indica que a velocidade aponta para baixo. O módulo (valor absoluto) é
|v_y|=g\cdot\frac{30}{7}.
Substituindo g=9,8:
|v_y|=9,8\cdot\frac{30}{7}=42\\ \text{m/s}.

Passo 6

Resumo rápido e dica de prova (pra te deixar mais confiante): no lançamento horizontal sempre calcule primeiro o tempo usando a queda livre vertical com y(t)=y_0-\tfrac{1}{2}gt^2. Depois use esse tempo para obter alcance horizontal com x=v_{0x}t. Para a velocidade vertical final use v_y=-g t. Essas fórmulas são diretas e normalmente rápidas na prova. Você conseguiu — foco e repete esse roteiro com outros exemplos!

Resposta

(a) t=\dfrac{30}{7}\\ \text{s}\approx 4,2857\\ \text{s}
(b) x=\dfrac{15000}{7}\\ \text{m}\approx 2142,8571\\ \text{m}
(c) |v_y|=42\\ \text{m/s}

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