No nível do solo, um projétil é disparado com velocidade inicial na vertical
. Sabe-se que a velocidade do projétil na altura máxima da trajetória é metade da velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e considerando
, responda:
Escreva as equações horárias que descrevem o movimento do projétil nas direções horizontal e vertical.
Escreva as equações horárias que descrevem o movimento do projétil nas direções horizontal e vertical.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um projétil que é lançado verticalmente com uma velocidade inicial de $ v_{0y} = 40,0 , m/s $. Sabemos também que, na altura máxima da trajetória, a velocidade do projétil é metade da velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e considerando $ g = 9,8 , m/s^2 $, precisamos escrever as equações que descrevem o movimento do projétil nas direções horizontal e vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre movimento uniforme na horizontal e movimento uniformemente variado na vertical, além de decompor as velocidades iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o movimento do projétil pode ser dividido em duas partes: horizontal e vertical. Na direção horizontal, se não há resistência do ar, o projétil se move com velocidade constante. Na direção vertical, o movimento é influenciado pela gravidade, fazendo com que a velocidade mude com o tempo.
Passo 3
Vamos começar analisando a direção horizontal. Como não há força atuando nessa direção (resistência do ar é desprezada), a velocidade horizontal $ v_{0x} $ permanece constante durante todo o voo do projétil. A equação posição-horizontal $ x(t) $ é dada por:
Nosso objetivo é encontrar $ v_{0x} $.
Passo 4
Agora, vamos para a direção vertical. A velocidade inicial na vertical é $ v_{0y} = 40,0 , m/s $. Sabemos que na altura máxima, a velocidade vertical $ v_y $ é metade da velocidade inicial:
No entanto, na altura máxima, o projétil tem velocidade horizontal constante $ v_{0x} $ e velocidade vertical zero. Parece haver uma confusão aqui. Na verdade, na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Então, provavelmente, a velocidade na altura máxima refere-se à velocidade total, que é apenas a componente horizontal.
Passo 5
Vamos considerar que, na altura máxima, a única velocidade presente é a horizontal, já que a vertical é zero. A velocidade total na altura máxima é $ v_{máx} = v_{0x} $, e sabemos que essa velocidade é metade da velocidade inicial total $ v_0 $. Então:
Mas também sabemos que a velocidade inicial total $ v_0 $ pode ser encontrada a partir das componentes horizontal e vertical:
Passo 6
Substituindo $ v_0 = 2 v_{0x} $ na equação acima:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo para $ v_{0x} $:
Passo 7
Agora que temos $ v_{0x} $, podemos escrever a equação da posição na direção horizontal:
Passo 8
Para a direção vertical, usamos a equação do movimento uniformemente variado (MUV), já que a única aceleração é a da gravidade $ g $:
Substituindo os valores:
Resposta
As equações horárias que descrevem o movimento do projétil são: