No nível do solo, um projétil é disparado com velocidade inicial na vertical v0 y=40,0 m / s. Sabe-se que a velocidade do projétil na altura máxima da trajetória é metade da velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e considerando g=9,8 m / s^2, responda:
Escreva as equações horárias que descrevem o movimento do projétil nas direções horizontal e vertical.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um projétil que é lançado verticalmente com uma velocidade inicial de $ v_{0y} = 40,0 , m/s $. Sabemos também que, na altura máxima da trajetória, a velocidade do projétil é metade da velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e considerando $ g = 9,8 , m/s^2 $, precisamos escrever as equações que descrevem o movimento do projétil nas direções horizontal e vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre movimento uniforme na horizontal e movimento uniformemente variado na vertical, além de decompor as velocidades iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o movimento do projétil pode ser dividido em duas partes: horizontal e vertical. Na direção horizontal, se não há resistência do ar, o projétil se move com velocidade constante. Na direção vertical, o movimento é influenciado pela gravidade, fazendo com que a velocidade mude com o tempo.

Passo 3

Vamos começar analisando a direção horizontal. Como não há força atuando nessa direção (resistência do ar é desprezada), a velocidade horizontal $ v_{0x} $ permanece constante durante todo o voo do projétil. A equação posição-horizontal $ x(t) $ é dada por:
v0x
Nosso objetivo é encontrar $ v_{0x} $.

Passo 4

Agora, vamos para a direção vertical. A velocidade inicial na vertical é $ v_{0y} = 40,0 , m/s $. Sabemos que na altura máxima, a velocidade vertical $ v_y $ é metade da velocidade inicial:
v0y = 40,0 , m/s
No entanto, na altura máxima, o projétil tem velocidade horizontal constante $ v_{0x} $ e velocidade vertical zero. Parece haver uma confusão aqui. Na verdade, na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Então, provavelmente, a velocidade na altura máxima refere-se à velocidade total, que é apenas a componente horizontal.

Passo 5

Vamos considerar que, na altura máxima, a única velocidade presente é a horizontal, já que a vertical é zero. A velocidade total na altura máxima é $ v_{máx} = v_{0x} $, e sabemos que essa velocidade é metade da velocidade inicial total $ v_0 $. Então:
vmáx = v0x á
Mas também sabemos que a velocidade inicial total $ v_0 $ pode ser encontrada a partir das componentes horizontal e vertical:
v0

Passo 6

Substituindo $ v_0 = 2 v_{0x} $ na equação acima:
v0 = 2 v0x
Elevando ambos os lados ao quadrado:
2 v0x = raizv0x^2 + v0y^2
Resolvendo para $ v_{0x} $:
4 v0x^2 = v0x^2 + v0y^2

Passo 7

Agora que temos $ v_{0x} $, podemos escrever a equação da posição na direção horizontal:
v0x

Passo 8

Para a direção vertical, usamos a equação do movimento uniformemente variado (MUV), já que a única aceleração é a da gravidade $ g $:
g
Substituindo os valores:
y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2

Resposta

As equações horárias que descrevem o movimento do projétil são:
x(t) = 23,09 cdot t
y(t) = 40,0 cdot t - 4,9 cdot t^2

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