No nível do solo, um projétil é disparado com velocidade inicial na vertical v0 y=40,0 m / s. Sabe-se que a velocidade do projétil na altura máxima da trajetória é metade da velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e considerando g=9,8 m / s^2, responda:
Determine a distância horizontal percorrida pelo projétil até atingir o solo.

Passo 1

Então, a gente tem um projétil que foi lançado do chão com uma velocidade inicial vertical de $ v_{0y} = 40,0 , m/s $. A parada é que, na altura máxima da trajetória, a velocidade do projétil é metade da velocidade inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis, como componentes de velocidade, tempo de voo e distância horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as velocidades envolvidas. A velocidade inicial tem duas partes: uma vertical ($ v_{0y} v0y v_{0x} $). Na altura máxima, a velocidade vertical é zero, então a única velocidade que sobra é a horizontal. Segundo o enunciado, essa velocidade horizontal na altura máxima é metade da velocidade inicial total.
Então, podemos escrever:
v0x
Onde $ v_0 $ é a velocidade inicial total do projétil.

Passo 3

Agora, vamos relacionar as componentes de velocidade com a velocidade inicial total. Pela relação de Pitágoras para as velocidades, temos:
v0^2 = v0x^2 + v0y^2
Substituindo $ v_{0x} $ por $ \frac{v_0}{2} $:
v0x
v02
Multiplicando tudo por 4 para eliminar a fração:
v0^2 = (v02)^2 + (40,0)^2
v0^2 = v0^24 + 1600
4v0^2 = v0^2 + 6400
3v0^2 = 6400

Passo 4

Com a velocidade inicial total encontrada, podemos determinar a componente horizontal:
v0x = v02 = 46,22 approx 23,1 , m/s

Passo 5

Vamos calcular o tempo total que o projétil fica no ar. O tempo de subida até a altura máxima é dado por:
tsubida = v0yg = 40,09,8 approx 4,08 , s
Como o tempo de descida é igual ao de subida, o tempo total de voo é:
ttotal = 2 times tsubida approx 2 times 4,08 approx 8,16 , s

Passo 6

Finalmente, para encontrar a distância horizontal percorrida, multiplicamos a velocidade horizontal pelo tempo total de voo:
d = v0x times ttotal approx 23,1 times 8,16 approx 188,1 , m

Resposta

A distância horizontal percorrida pelo projétil até atingir o solo é aproximadamente 188 metros.

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