A posição de um esquilo correndo em um parque é dada por
r(t)=(1,2 t+0,25 t^2) i+(0,5+0,15 t) j
onde a posição é medida em metros e o tempo em segundos.
Descreva o vetor aceleração do esquilo, e determine seu respectivo módulo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado pede. A posição do esquilo é dada pelo vetor
vec r(t) = l(1,2,t + 0,25,t^2r),hat i ;+;l(0,5 + 0,15,tr),hat j
Aqui o conteúdo é cinemática vetorial: pra achar a aceleração a gente precisa conhecer derivadas de vetores. Em resumo, vamos precisar:
  • Entender que a velocidade é a derivada da posição, .
  • Que a aceleração é a derivada da velocidade, .
  • Depois, usar Pitágoras em componentes pra achar o módulo de .

Passo 2

Primeiro pegamos a velocidade: a gente deriva cada componente de rx(t) = 1,2,t + 0,25,t^2 ;Longrightarrow; vx(t) = drxdt = 1,2 + 2cdot0,25,t^2dt = 1,2 + 0,5,t .
  • Para o eixo ry(t) = 0,5 + 0,15,t ;Longrightarrow; vy(t) = drydt = 0 + 0,15 = 0,15 : vec v(t) = l(1,2 + 0,5,tr),hat i ;+; 0,15,hat j Aqui usei a regra .
  • Para o eixo : Porque a derivada de uma constante é zero e de é .
Então

Passo 3

Agora a aceleração é a derivada da velocidade. De novo, derivamos componente a componente:
  • No vx(t) = 1,2 + 0,5,t ;Longrightarrow; ax(t) = dvxdt = 0 + 0,5 = 0,5 : vy(t) = 0,15 ;Longrightarrow; ay(t) = dvydt = 0,
  • No vec a(t) = 0,5,hat i + 0,hat j : porque a derivada de número fixo é zero.
Logo

Passo 4

Pra achar o módulo de |vec a| = raizax^2 + ay^2 = raiz(0,5)^2 + 0^2 = raiz0,25 = 0,5 , usamos a fórmula

Resposta

A aceleração do esquilo é
boxedvec a(t) = 0,5,hat i (em m/s^2),
e o módulo dessa aceleração é
boxed|vec a| = 0,5 m/s^2

Exercícios relacionados