Em um nobreak monofásico,
e
A. Calcule e faça o gráfico de
e
. A frequência de comutação é
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente, sem resolver ainda):
frequência de comutação
As quantidades que o enunciado pede que eu calcule e desenhe (ou descreva o gráfico) são:
e
.
Observação importante (assunção que vou usar para resolver): vou considerar um inversor em ponte H monofásica com modulação sinusoidal unipolar (SPWM unipolar) — isso é o padrão em muitos exercícios de nobreak/inversores monofásicos. Com essa escolha: cada perna (A e B) gera uma tensão média em relação ao negativo do DC igual a
; a referência de modulação para a perna B é a negativa da de A, de modo que
. Não há figura no enunciado, então uso esse modelo (se o seu prof. usou outro modelo, me diga depois — aqui estou seguindo a hipótese mais comum).
Passo 2
Escolho o método e explico por quê (curtinho e didático): para SPWM unipolar a forma simples e usada em provas é:
- existe um índice de modulação
tal que a componente fundamental de é . - a razão cíclica instantânea da chave superior da perna A (chamo de
) é
e a chave inferior é complementar
.
- a tensão média do nó
(em relação ao pólo negativo do barramento, que chamo de hipotético para média) é . Isso surge porque, num período de comutação, o nó fica durante fração e durante ; a média é . - a corrente contínua do barramento
(instantânea, incluindo ripple a baixa frequência) é obtida pela conservação de potência instantânea ideal: . A média é então potência ativa média dividida por .
Essas fórmulas são as mais diretas e são apropriadas para resolver tudo do enunciado sem precisar simular o comutador ao nível dos pulsos de 20 kHz (o enunciado pede gráfico, mas os gráficos de média têm somente a forma de seno/cosseno a 60 Hz e uma componente de 120 Hz no
— eu descrevo isso nos passos abaixo).
Passo 3
Calcular o índice de modulação
.
A componente fundamental do
com SPWM unipolar é
. Como no enunciado
, temos
Vou manter a fração exata
quando for útil e também usar o valor decimal
.
Passo 4
Calcular
. A fórmula (veja passo anterior) é
com
. Substituindo
:
Calcule o coeficiente numérico
. Assim
Passo 5
Calcular
. É a complementar:
(ou mantendo forma simbólica
).
Passo 6
Calcular as tensões médias
e
.
Usando
e o resultado do passo 4:
portanto
Substituindo
e
obtemos
Como a perna B usa a referência invertida, teremos
Verificação rápida:
, que é exatamente
dado no enunciado.
Passo 7
Calcular a corrente média do barramento
(média em tempo longo, potência ativa dividida por
).
A potência média entregue à carga é a potência ativa fundamental:
onde
,
e o ângulo entre tensão e corrente é
(corrente atrasada 30°). Mais simples: potência média também é
. Então
A corrente média do barramento é
, logo
(Isto é o valor DC médio extraído da fonte/bateria para alimentar a carga.)
Passo 8
Calcular a corrente instantânea do barramento
(equação instantânea, inclui componente variável de baixa frequência).
Usando conservação instantânea de potência (inversor ideal, sem perdas):
Portanto
Simplificando o coeficiente
e usando a identidade trigonométrica
, temos
Ou seja
Numérico:
Observações sobre o gráfico: trata-se de uma componente contínua
mais uma ondulação senoidal à frequência
(ou seja
) com amplitude
. A comutação em
introduziria pulsos de alta frequência, mas aqui tratamos a corrente média por período de comutação (o enunciado com f_s apenas diz que a comutação é muito mais rápida do que 60 Hz).
Passo 9
Determinar [i_{\mathrm{d}_2}(t)). Interpreto
como a corrente média (por período de comutação) que passa pela díodo inferior da perna A (denotado comumente
). Explico fisicamente e faço a expressão:
Raciocínio físico (passo-a-passo e intuitivo):
- O circuito da perna A tem uma chave superior e uma inferior complementares; a fração de tempo em que a chave inferior está ligada é
. - Quando a corrente de fase
(que aqui é igual a por simetria de um único ramo: a corrente da perna A é a corrente da carga) é negativa, isto é, a corrente entra no nó vindo da carga (fluxo da carga para o barramento negativo), então a corrente negativa só pode retornar ao barramento negativo passando pela chave inferior (se ela estiver ligada) ou pela diodo inferior (se a chave estiver desligada). Em média, por período de comutação, a fração do tempo em que a chave inferior está desligada é ; mas a corrente passa pelo diodo inferior precisamente na fração em que a chave inferior está desligada enquanto a corrente é negativa. Uma forma direta de expressar a corrente média do diodo inferior por período é então:
Explicação curta: quando
para
; caso contrário o diodo não conduz.
Colocando a expressão de
e de
obtemos a forma completa (com a função degrau/heaviside
ou usando max/min):
Isto significa: quando
(ou seja quando a corrente da carga é negativa) o diodo inferior da perna A conduz com corrente média por período igual ao produto acima; quando a corrente da carga é positiva, o diodo não conduz e a expressão dá zero.
Gráfico (descrição):
é formada por “pulsos” de forma senoidal recortada: nos instantes em que
é negativa aparece uma forma que é produto de duas senos: uma variação lenta do tipo
multiplicada por
. Portanto o sinal é sempre positivo (corrente no diodo é positiva no sentido convencional), com envelope variável com a frequência de 60 Hz; entre esses intervalos o diodo fica com corrente zero. A comutação a 20 kHz produz a estrutura de pulso fina, mas a média por período descrita acima é o que representamos graficamente (uma envoltória suave que é zero nos intervalos onde
).]
Passo 10
Exemplo numérico rápido em
para confirmar coerência (útil para verificar na prova):
-
, . -
. -
. -
. -
. -
(negativa). -
(substituindo na expressão completa dá o mesmo resultado do passo 8 avaliado em ). NOTE: Este valor instantâneo é menor que a média — o sinal negativo indica que naquele instante particular a potência instantânea está negativa (devolvendo energia), mas o valor médio é o calculado anteriormente (positivo).