Um conversor CC-CC de modo comutado está operando em uma frequência de comutação de 20 kHz e V_{\mathrm{d}}=150 \mathrm{~V}. No circuito elétrico equivalente do motor CC, E_{\mathrm{a}}=100 \mathrm{~V}, R_{\mathrm{a}}=250 \mathrm{~m} \Omega e L_{\mathrm{a}}=4 \mathrm{mH}. A corrente elétrica média que está sendo consumida pelo motor CC é de 8,0 \mathrm{~A}. Calcula i_{\mathrm{d} a}(t), i_{\mathrm{d} b}(t), e i_{\mathrm{d}}(t) e trace as respectivas formas de onda.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede formas de onda das correntes por fase do conversor e a corrente total:
Frequência de comutação: f_s = 20\\ \text{kHz}.
Tensão da fonte do conversor: V_{\mathrm{d}} = 150\\ \text{V}.
Corrente elétrica média consumida pelo motor: \overline{I} = 8,0\\ \text{A}.
O que o enunciado pede explicitamente:
Calcular i_{\mathrm{d}a}(t), i_{\mathrm{d}b}(t) e i_{\mathrm{d}}(t) e traçar (descrever) as respectivas formas de onda.
Não foi dada figura do circuito de comutação, então vou assumir a topologia de um conversor buck (comutado) alimentando o motor: durante o intervalo ON o chaveador aplica V_{\mathrm{d}} ao motor; durante OFF o indutor do motor livremente circula corrente para o diodo/retorno (tensão aplicada ~ 0). Esse é o caso padrão para controle PWM de motor CC. Vou usar essa interpretação para calcular as correntes por intervalo de chaveamento.
Passo 2
Montagem da equação do circuito (equação diferencial da corrente do indutor/armadura):
A equação geral do circuito do motor (no ramo da armadura) é a lei de Kirchhoff:
L_{\mathrm{a}} é a indutância da armadura (4\\ \text{mH}).
i(t) é a corrente instantânea na armadura (o que queremos).
V_{\text{aplicada}}(t) é a tensão que o conversor fornece ao motor: vale V_{\mathrm{d}} durante o intervalo ON e 0 (ou tensão de freewheeling) durante OFF.
E_{\mathrm{a}} é a fem contra-eletromotriz do motor (100\\ \text{V}).
R_{\mathrm{a}} é a resistência da armadura (0,25\\ \Omega).
Portanto estudaremos duas equações lineares por intervalo:
Estado ON: V_{\text{aplicada}} = V_{\mathrm{d}}\Rightarrow L_{\mathrm{a}}\dfrac{di}{dt} = V_{\mathrm{d}} - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}} i.
Estado OFF: V_{\text{aplicada}} = 0\Rightarrow L_{\mathrm{a}}\dfrac{di}{dt} = - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}} i.
Passo 3
Determinar o ciclo de trabalho e os tempos de comutação a partir da corrente média fornecida:
Em regime estacionário médio (muita coisa de média): a tensão média aplicada ao motor deve igualar a queda média E_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{a}}\overline{I}. Assim:
Justificativa para linearizar (usar corrente média ao estimar a resistência):
O termo R_{\mathrm{a}} i(t) aparece na equação diferencial. Se tentássemos resolver exatamente dentro do período, teríamos uma EDO linear do tipo
L_{\mathrm{a}}\frac{di}{dt} + R_{\mathrm{a}} i = \text{constante (dependendo do estado)}.
Mas há uma simplificação prática e muito usada: comparar a constante elétrica da armadura (constante de tempo) com o período de chaveamento. A constante de tempo elétrica é
Como \tau = 16\\ \text{ms} é muito maior que T_s = 50\\ \mu\text{s}, a corrente varia muito pouco dentro de um período de chaveamento — ou seja, o ripple é pequeno. Então é razoável aproximar R_{\mathrm{a}} i(t) por R_{\mathrm{a}}\overline{I} ao calcular as inclinações instantâneas dentro do período. Essa é a aproximação de ripple pequeno (linearização), válida quando T_s \ll \tau.
Passo 5
Cálculo das inclinações (slopes) da corrente durante ON e OFF e do ripple pico-a-pico:
Usando a aproximação R_{\mathrm{a}} i(t)\approx R_{\mathrm{a}}\overline{I} = 0,25\cdot 8,0 = 2\\ \text{V} para o termo resistivo, obtemos as tensões na indutância em cada estado.
Interpretação prática: a corrente é praticamente triangular dentro de cada período, crescendo linearmente de I_{\min} até I_{\max} em T_{\mathrm{on}}=34\\ \mu\text{s} e decrescendo linearmente de I_{\max} até I_{\min} em T_{\mathrm{off}}=16\\ \mu\text{s}.
Passo 6
Escrever as expressões analíticas de [i_{\mathrm{d}a}(t)), i_{\mathrm{d}b}(t) e i_{\mathrm{d}}(t) por período T_s.
Definimos T_s=50\\ \mu\text{s} e indexamos períodos por n\in\mathbb{Z} com t_n = nT_s. Dentro do período n temos dois intervalos:
A corrente total periódica i_{\mathrm{d}}(t) é a função peça-por-peça que combina os dois trechos acima em cada período. Em forma compacta e periódica:
Como traçar as formas de onda (descrição para o gabarito/risco à prova):
i_{\mathrm{d}a}(t): é um segmento linear ascendente em cada período, começando em 7,796\\ \text{A} no instante t_n e subindo até 8,204\\ \text{A} em t_n+34\\ \mu\text{s}. Slope =1,2\times10^{4}\\ \text{A/s}.
i_{\mathrm{d}b}(t): é o segmento linear descendente em cada período, iniciando em 8,204\\ \text{A} em t_n+34\\ \mu\text{s} e caindo até 7,796\\ \text{A} em t_n+50\\ \mu\text{s}. Slope =-2,55\times10^{4}\\ \text{A/s}.
i_{\mathrm{d}}(t): a união dos dois acima — um triângulo assimétrico por período (subida mais lenta em tempo maior T_{\mathrm{on}}, descida mais rápida em tempo menor T_{\mathrm{off}}), porém centrado na média 8,0\\ \text{A}. O pico-a-pico é 0,408\\ \text{A}.
Dica de desenho rápido: no eixo vertical marque 8,0 A como linha central; desenhe uma linha triangular que varia entre 7,796\\ \text{A} e 8,204\\ \text{A}; no eixo horizontal cada período 50\\ \mu\text{s} com a subida ocupando 68\% do período (34 µs) e a descida os 32\% restantes (16 µs).