Um conversor CC-CC de modo comutado está operando em uma frequência de comutação de 20 kHz e V_{\mathrm{d}}=150 \mathrm{~V}. No circuito elétrico equivalente do motor CC, E_{\mathrm{a}}=100 \mathrm{~V}, R_{\mathrm{a}}=250 \mathrm{~m} \Omega e L_{\mathrm{a}}=4 \mathrm{mH}. A corrente elétrica média que está sendo consumida pelo motor CC é de 8,0 \mathrm{~A}. Calcula i_{\mathrm{d} a}(t), i_{\mathrm{d} b}(t), e i_{\mathrm{d}}(t) e trace as respectivas formas de onda.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede formas de onda das correntes por fase do conversor e a corrente total:
  • Frequência de comutação: f_s = 20\\ \text{kHz}.
  • Tensão da fonte do conversor: V_{\mathrm{d}} = 150\\ \text{V}.
  • Modelo elétrico do motor CC: E_{\mathrm{a}} = 100\\ \text{V},\qquad R_{\mathrm{a}} = 250\\ \text{m}\Omega,\qquad L_{\mathrm{a}} = 4\\ \text{mH}.Observação: 250\\ \text{m}\Omega = 0,25\\ \Omega.
  • Corrente elétrica média consumida pelo motor: \overline{I} = 8,0\\ \text{A}.
O que o enunciado pede explicitamente:
  • Calcular i_{\mathrm{d}a}(t), i_{\mathrm{d}b}(t) e i_{\mathrm{d}}(t) e traçar (descrever) as respectivas formas de onda.
Não foi dada figura do circuito de comutação, então vou assumir a topologia de um conversor buck (comutado) alimentando o motor: durante o intervalo ON o chaveador aplica V_{\mathrm{d}} ao motor; durante OFF o indutor do motor livremente circula corrente para o diodo/retorno (tensão aplicada ~ 0). Esse é o caso padrão para controle PWM de motor CC. Vou usar essa interpretação para calcular as correntes por intervalo de chaveamento.

Passo 2

Montagem da equação do circuito (equação diferencial da corrente do indutor/armadura):
A equação geral do circuito do motor (no ramo da armadura) é a lei de Kirchhoff:
L_{\mathrm{a}}\frac{di(t)}{dt} = V_{\text{aplicada}}(t) - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}}\,i(t).
Explicação das variáveis:
  • L_{\mathrm{a}} é a indutância da armadura (4\\ \text{mH}).
  • i(t) é a corrente instantânea na armadura (o que queremos).
  • V_{\text{aplicada}}(t) é a tensão que o conversor fornece ao motor: vale V_{\mathrm{d}} durante o intervalo ON e 0 (ou tensão de freewheeling) durante OFF.
  • E_{\mathrm{a}} é a fem contra-eletromotriz do motor (100\\ \text{V}).
  • R_{\mathrm{a}} é a resistência da armadura (0,25\\ \Omega).
Portanto estudaremos duas equações lineares por intervalo:
  • Estado ON: V_{\text{aplicada}} = V_{\mathrm{d}}\Rightarrow L_{\mathrm{a}}\dfrac{di}{dt} = V_{\mathrm{d}} - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}} i.
  • Estado OFF: V_{\text{aplicada}} = 0\Rightarrow L_{\mathrm{a}}\dfrac{di}{dt} = - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}} i.

Passo 3

Determinar o ciclo de trabalho e os tempos de comutação a partir da corrente média fornecida:
Em regime estacionário médio (muita coisa de média): a tensão média aplicada ao motor deve igualar a queda média E_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{a}}\overline{I}. Assim:
V_{\text{médio}} = E_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{a}}\overline{I}.é
Calcule numericamente:
V_{\text{médio}} = 100 + 0,25\cdot 8,0 = 100 + 2 = 102\\ \text{V}.é
Para um conversor buck controlado por PWM, a tensão média é D\,V_{\mathrm{d}}, onde D é o duty cycle. Logo:
D = \frac{V_{\text{médio}}}{V_{\mathrm{d}}} = \frac{102}{150} = 0,68.é
Período de chaveamento:
T_s = \frac{1}{f_s} = \frac{1}{20\\\ 000} = 50\\ \mu\text{s}.
Tempos ON e OFF:
T_{\mathrm{on}} = D\,T_s = 0,68\cdot 50\\ \mu\text{s} = 34\\ \mu\text{s},
T_{\mathrm{off}} = T_s - T_{\mathrm{on}} = 16\\ \mu\text{s}.

Passo 4

Justificativa para linearizar (usar corrente média ao estimar a resistência):
O termo R_{\mathrm{a}} i(t) aparece na equação diferencial. Se tentássemos resolver exatamente dentro do período, teríamos uma EDO linear do tipo
L_{\mathrm{a}}\frac{di}{dt} + R_{\mathrm{a}} i = \text{constante (dependendo do estado)}.
Mas há uma simplificação prática e muito usada: comparar a constante elétrica da armadura (constante de tempo) com o período de chaveamento. A constante de tempo elétrica é
\tau = \frac{L_{\mathrm{a}}}{R_{\mathrm{a}}} = \frac{0,004}{0,25} = 0,016\\ \text{s} = 16\\ \text{ms}.
Como \tau = 16\\ \text{ms} é muito maior que T_s = 50\\ \mu\text{s}, a corrente varia muito pouco dentro de um período de chaveamento — ou seja, o ripple é pequeno. Então é razoável aproximar R_{\mathrm{a}} i(t) por R_{\mathrm{a}}\overline{I} ao calcular as inclinações instantâneas dentro do período. Essa é a aproximação de ripple pequeno (linearização), válida quando T_s \ll \tau.

Passo 5

Cálculo das inclinações (slopes) da corrente durante ON e OFF e do ripple pico-a-pico:
Usando a aproximação R_{\mathrm{a}} i(t)\approx R_{\mathrm{a}}\overline{I} = 0,25\cdot 8,0 = 2\\ \text{V} para o termo resistivo, obtemos as tensões na indutância em cada estado.
  • Estado ON ( V_{\text{aplicada}}=V_{\mathrm{d}}):
V_{L,\text{on}} = V_{\mathrm{d}} - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}}\overline{I} = 150 - 100 - 2 = 48\\ \text{V}.
Inclinação (derivada) durante ON:
m_1 = \frac{d i}{dt}\Big|_{\text{on}} = \frac{V_{L,\text{on}}}{L_{\mathrm{a}}} = \frac{48}{0,004} = 1,2\times 10^{4}\\ \text{A/s}.
  • Estado OFF ( V_{\text{aplicada}}=0, freewheeling para retorno):
V_{L,\text{off}} = 0 - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}}\overline{I} = -(100 + 2) = -102\\ \text{V}.
Inclinação durante OFF:
m_2 = \frac{d i}{dt}\Big|_{\text{off}} = \frac{V_{L,\text{off}}}{L_{\mathrm{a}}} = \frac{-102}{0,004} = -2,55\times 10^{4}\\ \text{A/s}.
Variação de corrente durante ON (aumento):
\Delta i_{\text{on}} = m_1\,T_{\mathrm{on}} = 1,2\times 10^{4}\cdot 34\times10^{-6} = 0,408\\ \text{A}.
Variação durante OFF (queda):
\Delta i_{\text{off}} = m_2\,T_{\mathrm{off}} = -2,55\times 10^{4}\cdot 16\times10^{-6} = -0,408\\ \text{A}.
Como esperado em regime periódico, \Delta i_{\text{on}} + \Delta i_{\text{off}} = 0. Então o ripple pico-a-pico é
\Delta i_{pp} = 0,408\\ \text{A}.
Logo os valores de pico e vale instantâneos são:
I_{\max} = \overline{I} + \frac{\Delta i_{pp}}{2} = 8,0 + 0,204 = 8,204\\ \text{A},
I_{\min} = \overline{I} - \frac{\Delta i_{pp}}{2} = 8,0 - 0,204 = 7,796\\ \text{A}.
Interpretação prática: a corrente é praticamente triangular dentro de cada período, crescendo linearmente de I_{\min} até I_{\max} em T_{\mathrm{on}}=34\\ \mu\text{s} e decrescendo linearmente de I_{\max} até I_{\min} em T_{\mathrm{off}}=16\\ \mu\text{s}.

Passo 6

Escrever as expressões analíticas de [i_{\mathrm{d}a}(t)), i_{\mathrm{d}b}(t) e i_{\mathrm{d}}(t) por período T_s.
Definimos T_s=50\\ \mu\text{s} e indexamos períodos por n\in\mathbb{Z} com t_n = nT_s. Dentro do período n temos dois intervalos:
  • Intervalo ON: t\in [t_n,\; t_n+T_{\mathrm{on}}).
  • Intervalo OFF: t\in [t_n+T_{\mathrm{on}},\; t_{n+1}).
Usamos os valores numéricos já calculados:
T_s = 50\\ \mu\text{s},\quad T_{\mathrm{on}} = 34\\ \mu\text{s},\quad T_{\mathrm{off}} = 16\\ \mu\text{s},
m_1 = 1,2\times 10^{4}\\ \text{A/s},\quad m_2 = -2,55\times 10^{4}\\ \text{A/s},
I_{\min} = 7,796\\ \text{A},\quad I_{\max} = 8,204\\ \text{A}.
  • Fórmula durante ON (a corrente aumenta linearmente a partir de I_{\min}):
i_{\mathrm{d}a}(t)=I_{\min}+m_1\,(t-t_n),\qquad t_n\le t< t_n+T_{\mathrm{on}}.
Substituindo números:
i_{\mathrm{d}a}(t)=7,796 + (1,2\times10^{4})\,(t-t_n)\quad[\text{A}],\qquad t_n\le t< t_n+34\\ \mu\text{s}.
  • Fórmula durante OFF (a corrente decresce linearmente a partir de I_{\max}):
i_{\mathrm{d}b}(t)=I_{\max}+m_2\,(t-(t_n+T_{\mathrm{on}})),\qquad t_n+T_{\mathrm{on}}\le t< t_{n+1}.
Substituindo números:
i_{\mathrm{d}b}(t)=8,204 - (2,55\times10^{4})\,(t-(t_n+34\\ \mu\text{s}))\quad[\text{A}],\qquad t_n+34\\ \mu\text{s}\le t< t_n+50\\ \mu\text{s}.
  • A corrente total periódica i_{\mathrm{d}}(t) é a função peça-por-peça que combina os dois trechos acima em cada período. Em forma compacta e periódica:
i_{\mathrm{d}}(t)= \begin{cases} 7,796 + 1,2\times10^{4}\,(t-t_n), & t_n\le t< t_n+34\\ \mu\text{s},\\[6pt] 8,204 - 2,55\times10^{4}\,(t-(t_n+34\\ \mu\text{s})), & t_n+34\\ \mu\text{s}\le t< t_n+50\\ \mu\text{s}, \end{cases}
para todo (n\in\mathbb{Z}].]

Passo 7

Como traçar as formas de onda (descrição para o gabarito/risco à prova):
  • i_{\mathrm{d}a}(t): é um segmento linear ascendente em cada período, começando em 7,796\\ \text{A} no instante t_n e subindo até 8,204\\ \text{A} em t_n+34\\ \mu\text{s}. Slope =1,2\times10^{4}\\ \text{A/s}.
  • i_{\mathrm{d}b}(t): é o segmento linear descendente em cada período, iniciando em 8,204\\ \text{A} em t_n+34\\ \mu\text{s} e caindo até 7,796\\ \text{A} em t_n+50\\ \mu\text{s}. Slope =-2,55\times10^{4}\\ \text{A/s}.
  • i_{\mathrm{d}}(t): a união dos dois acima — um triângulo assimétrico por período (subida mais lenta em tempo maior T_{\mathrm{on}}, descida mais rápida em tempo menor T_{\mathrm{off}}), porém centrado na média 8,0\\ \text{A}. O pico-a-pico é 0,408\\ \text{A}.
Dica de desenho rápido: no eixo vertical marque 8,0 A como linha central; desenhe uma linha triangular que varia entre 7,796\\ \text{A} e 8,204\\ \text{A}; no eixo horizontal cada período 50\\ \mu\text{s} com a subida ocupando 68\% do período (34 µs) e a descida os 32\% restantes (16 µs).

Resposta

i_{\mathrm{d}a}(t)=7,796 + 1,2\times10^{4}\,(t-t_n)\quad\text{A},\qquad t_n\le t< t_n+34\\ \mu\text{s}
i_{\mathrm{d}b}(t)=8,204 - 2,55\times10^{4}\,(t-(t_n+34\\ \mu\text{s}))\quad\text{A},\qquad t_n+34\\ \mu\text{s}\le t< t_n+50\\ \mu\text{s}
i_{\mathrm{d}}(t)= \begin{cases} 7,796 + 1,2\times10^{4}\,(t-t_n), & t_n\le t< t_n+34\\ \mu\text{s},\\[6pt] 8,204 - 2,55\times10^{4}\,(t-(t_n+34\\ \mu\text{s})), & t_n+34\\ \mu\text{s}\le t< t_n+50\\ \mu\text{s}, \end{cases} \quad\text{periódico com }T_s=50\\ \mu\text{s}.ó]

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