Nocaderno, dê a representação geométrica e a forma trigonométrica dos seguintes números complexos:
-\sqrt{3}-\mathrm{i}

Passo 1

O enunciado pede a representação geométrica e a forma trigonométrica do número complexo
z = -\sqrt{3} \;-\; \mathrm{i}.
O conteúdo envolve interpretar z como ponto/vetor no plano de Argand e converter sua forma retangular (x+iy) em forma trigonométrica r(\cos\theta + i\sin\theta).

Passo 2

A representação geométrica de z é o ponto cujas coordenadas no plano são
\bigl(x,y\bigr) = \bigl(-\sqrt{3},\,-1\bigr),
e o vetor que vai da origem (0,0) até esse ponto.

Passo 3

Calculamos o módulo de z, que é a distância do ponto até a origem:
r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.

Passo 4

Para achar o argumento \theta, usamos
\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac1{\sqrt{3}} = \tan\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).
Como x<0 e y<0, o ponto está no terceiro quadrante, onde
\theta = \pi + \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{7\pi}{6}.
(Como valor principal em (-\pi,\pi], poderíamos também usar \theta = -\tfrac{5\pi}{6}.)

Passo 5

Montamos a forma trigonométrica de z com o módulo e o argumento:
z = r\bigl(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta\bigr) = 2\!\bigl(\cos\tfrac{7\pi}{6} + \mathrm{i}\sin\tfrac{7\pi}{6}\bigr).

Resposta

Representação geométrica: ponto (-\sqrt{3},-1) no plano complexo, ou vetor de origem até esse ponto.
Forma trigonométrica:
z = 2\Bigl(\cos\tfrac{7\pi}{6} + \mathrm{i}\sin\tfrac{7\pi}{6}\Bigr).

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