Nocaderno, dê a representação geométrica e a forma trigonométrica dos seguintes números complexos:
\sqrt{3}-\mathrm{i}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o número complexo
z = \sqrt{3} - \mathrm{i}
  1. A representação geométrica (ou Argand) de z.
  2. A forma trigonométrica (polar) de z.
    O conteúdo aqui é coordenadas no plano complexo, cálculo de módulo e argumento.

Passo 2

Separamos parte real e imaginária de
z = \sqrt{3} - \mathrm{i}.
Logo a parte real é
\Re(z) = \sqrt{3},
e a parte imaginária é
\Im(z) = -1.

Passo 3

Na representação geométrica, marcamos no plano de Argand o ponto P de coordenadas
(\Re(z),\,\Im(z)) = \bigl(\sqrt{3},\,-1\bigr).
Isto significa que, no eixo horizontal (eixo real) vamos até \sqrt{3} e, no eixo vertical (eixo imaginário), descemos até -1.

Passo 4

Para passar à forma trigonométrica, primeiro calculamos o módulo
r = |z| = \sqrt{\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2.

Passo 5

Em seguida, calculamos o argumento \theta. Usamos
\tan(\theta) = \frac{\Im(z)}{\Re(z)} = \frac{-1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
O arco cujo tangente é -1/\sqrt{3} é -\pi/6, e como \Re(z)>0 e \Im(z)<0, \theta está no quarto quadrante. Portanto
\theta = -\frac{\pi}{6} \quad\text{(ou equivalentemente \(\theta = 11\pi/6\)).}

Passo 6

Finalmente escrevemos a forma trigonométrica:
z = r\bigl(\cos\theta + \mathrm{i}\,\sin\theta\bigr) = 2\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) + \mathrm{i}\,\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)\Bigr).

Resposta

Representação geométrica: ponto de coordenadas \bigl(\sqrt{3},\,-1\bigr) no plano de Argand.
Forma trigonométrica:
z = 2\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) + \mathrm{i}\,\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)\Bigr).

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