(Nota: 3,0) Calcule uma função potencial, f, para o campo conservativo \vec{F}=\left(x^{2} y^{3}\right) \hat{i}+\left(x^{3} y^{2}\right) \hat{j} de tal forma que \vec{\nabla} \varphi=\vec{F}. Use o teorema fundamental de cálculo vetorial para determinar \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} onde C é definido por \vec{r}(t)=\left(t^{3}-2 t\right) \hat{i}+\left(t^{3}+2 t\right) \hat{j}, 0 \leq t \leq 1. Dado que o teorema fundamental de cálculo vetorial neste caso é \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\int_{C} \vec{\nabla} f \cdot d \vec{r}=f(\vec{r}[t=1])-f(\vec{r}[t=0])

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar uma função potencial f para o campo vetorial \vec{F}=\left(x^{2} y^{3}\right)\hat{i}+\left(x^{3} y^{2}\right)\hat{j}, isto é, achar f(x,y) tal que \vec{\nabla} f=\vec{F}.
  • Usar o teorema fundamental do cálculo vetorial para calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} onde a curva C é dada por \vec{r}(t)=\left(t^{3}-2t\right)\hat{i}+\left(t^{3}+2t\right)\hat{j}, com 0\le t\le 1.
Informações fornecidas e que vamos usar:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y)=\bigl(x^{2}y^{3},\,x^{3}y^{2}\bigr).
  • A curva paramétrica é \vec{r}(t)=\bigl(t^{3}-2t,\;t^{3}+2t\bigr) para 0\le t\le 1.
  • O teorema fundamental aqui diz \displaystyle \int_{C}\vec{\nabla} f\cdot d\vec{r}=f\bigl(\vec{r}(1)\bigr)-f\bigl(\vec{r}(0)\bigr).

Passo 2

Primeiro vamos verificar que \vec{F} é conservativo (para garantir que existe f com \vec{\nabla} f=\vec{F}). Para um campo planar \vec{F}=(P(x,y),Q(x,y)) em uma região apropriada, uma condição necessária e suficiente é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui temos P(x,y)=x^{2}y^{3} e Q(x,y)=x^{3}y^{2}. Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=3x^{2}\cdot y^{2}=3x^{2}y^{2}.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}, o campo é conservativo (em todo \mathbb{R}^{2}, exceto pontos singulares — aqui não há), então existe potencial f.

Passo 3

Método padrão para achar o potencial f(x,y): integrar P em relação a x (tratando y como constante) e depois ajustar uma função de integração dependente somente de y.
Integramos P em x:
f(x,y)=\int P(x,y)\,dx=\int x^{2}y^{3}\,dx.
Como y é constante nessa integração, isso é
f(x,y)=y^{3}\int x^{2}\,dx=y^{3}\cdot\frac{x^{3}}{3}+\varphi(y)=\frac{1}{3}x^{3}y^{3}+\varphi(y),
onde \varphi(y) é uma função que depende só de y (análogo a constante de integração, mas pode depender de y).

Passo 4

Agora determinamos \varphi(y) exigindo que \dfrac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y). Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{3}x^{3}y^{3}+\varphi(y)\right) =\frac{1}{3}x^{3}\cdot 3y^{2}+\varphi'(y)=x^{3}y^{2}+\varphi'(y).
Devemos ter \dfrac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=x^{3}y^{2}. Igualando,
x^{3}y^{2}+\varphi'(y)=x^{3}y^{2}\quad\Rightarrow\quad \varphi'(y)=0.
Logo \varphi(y) é constante: \varphi(y)=C.
Portanto uma função potencial é
f(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}y^{3}+C.
Podemos escolher C=0 se quisermos a forma mais simples:
f(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}y^{3}.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo vetorial: como \vec{F}=\vec{\nabla} f, tem-se
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f\bigl(\vec{r}(1)\bigr)-f\bigl(\vec{r}(0)\bigr).
Então precisamos avaliar f nos pontos \vec{r}(1) e \vec{r}(0).

Passo 6

Calculemos as coordenadas dos extremos da curva:
\vec{r}(1)=\bigl(1^{3}-2\cdot1,\;1^{3}+2\cdot1\bigr)=(-1,\;3),
\vec{r}(0)=\bigl(0^{3}-2\cdot0,\;0^{3}+2\cdot0\bigr)=(0,\;0).

Passo 7

Avalie f(x,y)=\dfrac{1}{3}x^{3}y^{3} nesses pontos:
f\bigl(\vec{r}(1)\bigr)=f(-1,3)=\frac{1}{3}\,(-1)^{3}\,3^{3}=\frac{1}{3}\cdot(-1)\cdot 27=-9,
f\bigl(\vec{r}(0)\bigr)=f(0,0)=\frac{1}{3}\cdot 0^{3}\cdot 0^{3}=0.

Passo 8

Portanto, pelo teorema fundamental,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f\bigl(\vec{r}(1)\bigr)-f\bigl(\vec{r}(0)\bigr)=-9-0=-9.

Resposta

f(x,y)=\dfrac{1}{3}x^{3}y^{3}+C
\displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-9

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