(Nota: 3,0) Calcule uma função potencial,
, para o campo conservativo
de tal forma que
. Use o teorema fundamental de cálculo vetorial para determinar
onde
é definido por
. Dado que o teorema fundamental de cálculo vetorial neste caso é
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Encontrar uma função potencial
para o campo vetorial , isto é, achar tal que . - Usar o teorema fundamental do cálculo vetorial para calcular
onde a curva é dada por , com .
Informações fornecidas e que vamos usar:
- O campo vetorial é
. - A curva paramétrica é
para . - O teorema fundamental aqui diz
.
Passo 2
Primeiro vamos verificar que
é conservativo (para garantir que existe
com
). Para um campo planar
em uma região apropriada, uma condição necessária e suficiente é
Aqui temos
e
. Calculemos as derivadas parciais:
Como
, o campo é conservativo (em todo
, exceto pontos singulares — aqui não há), então existe potencial
.
Passo 3
Método padrão para achar o potencial
: integrar
em relação a
(tratando
como constante) e depois ajustar uma função de integração dependente somente de
.
Integramos
em
:
Como
é constante nessa integração, isso é
onde
é uma função que depende só de
(análogo a constante de integração, mas pode depender de
).
Passo 4
Agora determinamos
exigindo que
. Calculemos
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
. Igualando,
Logo
é constante:
.
Portanto uma função potencial é
Podemos escolher
se quisermos a forma mais simples:
Passo 5
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo vetorial: como
, tem-se
Então precisamos avaliar
nos pontos
e
.
Passo 6
Calculemos as coordenadas dos extremos da curva:
Passo 7
Avalie
nesses pontos:
Passo 8
Portanto, pelo teorema fundamental,