Sabe-se que em uma população, a altura dos homens adultos tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 20 cm , enquanto que a das mulheres é também normal com média 160 cm e desvio padrão 10 cm .
Sorteando-se aleatoriamente dessa população um homem, qual é a probabilidade de sua altura ser superior a 150 cm ?
Sorteando-se aleatoriamente dessa população um homem, qual é a probabilidade de sua altura ser superior a 150 cm ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
- Dado: a altura de homens adultos é uma variável aleatória com distribuição normal, média
cm e desvio padrão cm. - Pedido: ao sortear aleatoriamente um homem dessa população, qual é a probabilidade de sua altura ser superior a
cm? Ou seja, queremos calcular , onde representa a altura do homem sorteado.
Passo 2
Entendendo a variável e o que significa “distribuição normal”: quando dizemos que
tem distribuição normal com média
e desvio padrão
, escrevemos isso como
Aqui
é o valor médio (esperança) da altura e
mede a dispersão típica em torno da média. No nosso caso,
A probabilidade pedida é a área da cauda da distribuição à direita do valor
.
Passo 3
Para calcular probabilidades em uma normal usamos a padronização (transformar em normal padrão). A normal padrão é a distribuição
— média
e desvio padrão
. A padronização é feita pela fórmula
onde
tem distribuição
. Aqui explico cada símbolo:
-
: variável original (altura em cm), -
: média da distribuição de ( cm), -
: desvio padrão de ( cm), -
: variável padronizada (sem unidade), que segue a normal padrão.
Passo 4
Aplicamos a padronização ao limite
. Calculamos o escore
correspondente a
:
Esse número indica quantos desvios-padrão abaixo da média está
cm.
Passo 5
A probabilidade buscada transforma-se em probabilidade sobre
:
Agora usamos propriedades da normal padrão. Como a função de distribuição acumulada da normal padrão é
, temos
Pela simetria da normal padrão vale
. Usando isso,
Portanto
Passo 6
Agora precisamos do valor numérico de
. Em tabelas da normal padrão ou em calculadora estatística encontramos
Arredondando de forma usual para quatro casas decimais, obtemos
, o que em porcentagem é
.
Observação prática: se você estiver numa prova com tabela da normal padrão, localize a linha
e a coluna
(pois
) e leia o valor correspondente, que dá aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação final: a probabilidade de um homem sorteado dessa população ter altura maior que
cm é aproximadamente
, ou seja, cerca de
. Isso faz sentido porque
cm está
desvios-padrão abaixo da média
cm, então a maior parte da distribuição está acima desse valor.