Sabe-se que em uma população, a altura dos homens adultos tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 20 cm , enquanto que a das mulheres é também normal com média 160 cm e desvio padrão 10 cm .
Sorteando-se aleatoriamente dessa população um homem, qual é a probabilidade de sua altura ser superior a 150 cm ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
  • Dado: a altura de homens adultos é uma variável aleatória com distribuição normal, média \mu = 175 cm e desvio padrão \sigma = 20 cm.
  • Pedido: ao sortear aleatoriamente um homem dessa população, qual é a probabilidade de sua altura ser superior a 150 cm? Ou seja, queremos calcular \mathbb{P}(X>150), onde X representa a altura do homem sorteado.

Passo 2

Entendendo a variável e o que significa “distribuição normal”: quando dizemos que X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos isso como
X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).
Aqui \mu é o valor médio (esperança) da altura e \sigma mede a dispersão típica em torno da média. No nosso caso,
X \sim \mathcal{N}(175,20^2).
A probabilidade pedida é a área da cauda da distribuição à direita do valor 150.

Passo 3

Para calcular probabilidades em uma normal usamos a padronização (transformar em normal padrão). A normal padrão é a distribuição \mathcal{N}(0,1) — média 0 e desvio padrão 1. A padronização é feita pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição \mathcal{N}(0,1). Aqui explico cada símbolo:
  • X: variável original (altura em cm),
  • \mu: média da distribuição de X ( 175 cm),
  • \sigma: desvio padrão de X ( 20 cm),
  • Z: variável padronizada (sem unidade), que segue a normal padrão.

Passo 4

Aplicamos a padronização ao limite 150. Calculamos o escore z correspondente a X=150:
z=\frac{150-175}{20}=\frac{-25}{20}=-1,25.
Esse número indica quantos desvios-padrão abaixo da média está 150 cm.

Passo 5

A probabilidade buscada transforma-se em probabilidade sobre Z:
\mathbb{P}(X>150)=\mathbb{P}\!\left(Z> -1,25\right).
Agora usamos propriedades da normal padrão. Como a função de distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z), temos
\mathbb{P}(Z> -1,25)=1-\Phi(-1,25).
Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-z)=1-\Phi(z). Usando isso,
1-\Phi(-1,25)=1-\big(1-\Phi(1,25)\big)=\Phi(1,25).
Portanto
\mathbb{P}(X>150)=\Phi(1,25).

Passo 6

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(1,25). Em tabelas da normal padrão ou em calculadora estatística encontramos
\Phi(1,25)\approx 0,89435\ldots
Arredondando de forma usual para quatro casas decimais, obtemos 0,8944, o que em porcentagem é 89,44\%.
Observação prática: se você estiver numa prova com tabela da normal padrão, localize a linha 1,2 e a coluna 0,05 (pois 1,25=1,20+0,05) e leia o valor correspondente, que dá aproximadamente 0,8944.

Passo 7

Interpretação final: a probabilidade de um homem sorteado dessa população ter altura maior que 150 cm é aproximadamente 0,8944, ou seja, cerca de 89,44\%. Isso faz sentido porque 150 cm está 1,25 desvios-padrão abaixo da média 175 cm, então a maior parte da distribuição está acima desse valor.

Resposta

0,8944 (aprox.; 89,44\%)

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