(Nota: 2,0) Use o teorema de Green para calcular
onde
dado o dominio
. Lembre que o teorema de Green para o componente normal de um campo vetorial disse que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede-se calcular
(a integral de linha do campo no contorno, produto escalar com o vetor normal) sobre o domínio dado. - O campo vetorial é
. - O domínio
é o conjunto de pontos que satisfazem . (É um triângulo retângulo no primeiro quadrante, abaixo da reta e com indo até .) - O enunciado lembra a relação que será usada:
.
Passo 2
Explicar o que é
(divergência) e calcular explicitamente.
- A divergência de um campo bidimensional
é definida por
onde
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo, e
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo. Isso mede, localmente, a “taxa de saída” do campo por unidade de área.
- No nosso caso
e . Calcular as parciais:
pois
é constante quando derivamos em relação a
; e
pois
é constante quando derivamos em relação a
.
- Logo a divergência é
Passo 3
Escrever a integral dupla que corresponde à integral de contorno e fixar as ordens/limites de integração.
- Pelo enunciado vale
- Substituindo a divergência encontrada:
- Descrever
: para cada com , o varia de até . Portanto, escolhendo a ordem ,
Passo 4
Calcular a integral interna em
.
- A integral interna é
- Como
é constante em relação a , pode-se tirar fora da integral:
- A primitiva de
em é . Então
- Portanto a integral interna vale
Passo 5
Simplificar a expressão usando identidade trigonométrica e integrar em
.
- Usar a identidade trigonométrica
- Assim a integral total reduz-se a
- A primitiva de
é , porque ao derivar obtém-se (regra da cadeia). - Avaliando nos limites:
Passo 6
Fazer as contas finais e apresentar o resultado numérico.
- Sabendo que
e , tem-se
- Portanto
Resposta
1