(Nota: 2,0) Use o teorema de Green para calcular \oint \vec{F} \cdot \vec{n} d s onde
\vec{F}=\operatorname{sen} x \cos y \hat{i}+\cos x \operatorname{sen} y \hat{j} dado o dominio 0 \leq x \leq \pi / 2,0 \leq y \leq x. Lembre que o teorema de Green para o componente normal de um campo vetorial disse que \int_{C} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iint_{D} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} d A.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede-se calcular \displaystyle \oint \vec{F}\cdot\vec{n}\,ds (a integral de linha do campo no contorno, produto escalar com o vetor normal) sobre o domínio dado.
  • O campo vetorial é \displaystyle \vec{F}=\operatorname{sen} x\cos y\,\hat{i}+\cos x\operatorname{sen} y\,\hat{j}.
  • O domínio D é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem \displaystyle 0\le x\le \frac{\pi}{2},\;0\le y\le x. (É um triângulo retângulo no primeiro quadrante, abaixo da reta y=x e com x indo até \pi/2.)
  • O enunciado lembra a relação que será usada: \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\iint_{D}\nabla\cdot\vec{F}\,dA.

Passo 2

Explicar o que é \nabla\cdot\vec{F} (divergência) e calcular explicitamente.
  • A divergência de um campo bidimensional \vec{F}=(F_1,F_2) é definida por
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y},
onde \partial F_1/\partial x é a derivada parcial de F_1 em relação a x mantendo y fixo, e \partial F_2/\partial y é a derivada parcial de F_2 em relação a y mantendo x fixo. Isso mede, localmente, a “taxa de saída” do campo por unidade de área.
  • No nosso caso F_1=\operatorname{sen} x\cos y e F_2=\cos x\operatorname{sen} y. Calcular as parciais:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sen} x\cos y\big)=\cos x\cos y,
pois \cos y é constante quando derivamos em relação a x; e
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos x\operatorname{sen} y\big)=\cos x\cos y,
pois \cos x é constante quando derivamos em relação a y.
  • Logo a divergência é
\nabla\cdot\vec{F}=\cos x\cos y+\cos x\cos y=2\cos x\cos y.

Passo 3

Escrever a integral dupla que corresponde à integral de contorno e fixar as ordens/limites de integração.
  • Pelo enunciado vale
\oint_{C}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\iint_{D}\nabla\cdot\vec{F}\,dA.
  • Substituindo a divergência encontrada:
\iint_{D}2\cos x\cos y\,dA.
  • Descrever D: para cada x com 0\le x\le \dfrac{\pi}{2}, o y varia de 0 até x. Portanto, escolhendo a ordem dy\,dx,
\oint_{C}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\int_{x=0}^{\pi/2}\int_{y=0}^{x}2\cos x\cos y\,dy\,dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em y.
  • A integral interna é
\int_{0}^{x}2\cos x\cos y\,dy.
  • Como 2\cos x é constante em relação a y, pode-se tirar fora da integral:
2\cos x\int_{0}^{x}\cos y\,dy.
  • A primitiva de \cos y em y é \operatorname{sen} y. Então
\int_{0}^{x}\cos y\,dy=\operatorname{sen} x-\operatorname{sen}0=\operatorname{sen} x.
  • Portanto a integral interna vale
2\cos x\cdot\operatorname{sen} x=2\operatorname{sen} x\cos x.

Passo 5

Simplificar a expressão usando identidade trigonométrica e integrar em x.
  • Usar a identidade trigonométrica
2\operatorname{sen} x\cos x=\operatorname{sen}(2x).
  • Assim a integral total reduz-se a
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(2x)\,dx.
  • A primitiva de \operatorname{sen}(2x) é -\tfrac{1}{2}\cos(2x), porque ao derivar -\tfrac{1}{2}\cos(2x) obtém-se \operatorname{sen}(2x) (regra da cadeia).
  • Avaliando nos limites:
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(2x)\,dx=\Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Big]_{0}^{\pi/2}=-\tfrac{1}{2}\cos(\pi)+\tfrac{1}{2}\cos(0).

Passo 6

Fazer as contas finais e apresentar o resultado numérico.
  • Sabendo que \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1, tem-se
-\tfrac{1}{2}(-1)+\tfrac{1}{2}(1)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
  • Portanto
\oint_{C}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=1.

Resposta

1

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