(Nota: 2,0) Calcule os dois lados do teorema de Green para o componente tangencial de um campo vetorial
\oint_{C}(P d x+Q d y)=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
para o campo \vec{F}=P(x, y) \hat{i}+Q(x, y) \hat{j} onde P(x, y)=y-\operatorname{sen}[x] e Q(x, y)=\cos [x] para o caminho que tem forma de um triangulo com vertices (0,0),(1,0) e (1,2).
Passo 1
O enunciado fornece:
O campo vetorial \vec{F}=P(x,y)\,\hat{i}+Q(x,y)\,\hat{j} comP(x,y)=y-\sin x,\qquad Q(x,y)=\cos x.
O caminho C é o contorno do triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,2).
Pede-se para calcular os dois lados da igualdade\oint_{C}\bigl(P\,dx+Q\,dy\bigr) \qquad\text{e}\qquad \iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dx\,dy,onde R é a região triangular delimitada por C.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais que aparecem na integral dupla:
Agora calculamos a integral de linha \displaystyle\oint_{C}(P\,dx+Q\,dy) parametricamente. Tomamos orientação positiva (contra‑horária) seguindo a ordem dos vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,2)\to(0,0). Dividimos C em três segmentos C_{1},C_{2},C_{3}.
Segmento C_{1}: de (0,0) a (1,0). Parâmetro t\in[0,1]: