Encontre o valor de a para que a função dada seja contínua em (0,0)\) :
\(f(x, y)= \begin{cases}\frac{y^{2} \sin (x) \cos (y)}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ a^{2}-4 a-5 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de a para que f seja contínua em (0,0).
Informações relevantes fornecidas:
A expressão de f(x,y) fora da origem é \dfrac{y^{2}\sin(x)\cos(y)}{x^{2}+y^{2}}.
O valor definido em (0,0) é f(0,0)=a^{2}-4a-5.
Observação importante (o que é necessário para continuidade): para f ser contínua em (0,0) é preciso que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
exista e seja igual a f(0,0)=a^{2}-4a-5. A resolução começa a partir daqui.]
Passo 2
Explicar como calcular o limite: uma boa técnica para limites em duas variáveis quando aparece (x^{2}+y^{2}) é usar coordenadas polares. Em coordenadas polares define-se
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (distância à origem) e \theta é o ângulo. Ao enviar (x,y)\to(0,0) corresponde r\to0^{+} (independente de \theta). Vou transformar a expressão de f usando essa mudança e analisar o limite quando r\to0.
Breve justificativa do porquê isso ajuda: a expressão x^{2}+y^{2} vira r^{2}, e muitos fatores em numerador que são polinomiais em x,y trazem potências de r que podemos cancelar com o denominador, deixando uma dependência explícita em r que facilita ver o limite quando r\to0.
Passo 3
Fazer a substituição polar na parte fora da origem. Para (x,y)\neq(0,0),
Isso sugere que o limite é 0, independente da direção (valor de \theta).
Para dar um argumento um pouco mais rigoroso e uniforme, podemos usar a desigualdade |\sin u|\le |u| e |\cos v|\le1. Então, a partir da expressão em polares,
Concluir o que é preciso para continuidade: f será contínua em (0,0) se e somente se o valor definido em (0,0) for igual a esse limite. Assim requeremos