Encontre o valor de a para que a função dada seja contínua em (0,0)\) : \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{y^{2} \sin (x) \cos (y)}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ a^{2}-4 a-5 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{y^{2}\sin(x)\cos(y)}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] a^{2}-4a-5, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de a para que f seja contínua em (0,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x,y) fora da origem é \dfrac{y^{2}\sin(x)\cos(y)}{x^{2}+y^{2}}.
  • O valor definido em (0,0) é f(0,0)=a^{2}-4a-5.
Observação importante (o que é necessário para continuidade): para f ser contínua em (0,0) é preciso que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
exista e seja igual a f(0,0)=a^{2}-4a-5. A resolução começa a partir daqui.]

Passo 2

Explicar como calcular o limite: uma boa técnica para limites em duas variáveis quando aparece (x^{2}+y^{2}) é usar coordenadas polares. Em coordenadas polares define-se
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (distância à origem) e \theta é o ângulo. Ao enviar (x,y)\to(0,0) corresponde r\to0^{+} (independente de \theta). Vou transformar a expressão de f usando essa mudança e analisar o limite quando r\to0.
Breve justificativa do porquê isso ajuda: a expressão x^{2}+y^{2} vira r^{2}, e muitos fatores em numerador que são polinomiais em x,y trazem potências de r que podemos cancelar com o denominador, deixando uma dependência explícita em r que facilita ver o limite quando r\to0.

Passo 3

Fazer a substituição polar na parte fora da origem. Para (x,y)\neq(0,0),
y^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta,\qquad \sin(x)=\sin(r\cos\theta),\qquad \cos(y)=\cos(r\sin\theta),
e o denominador x^{2}+y^{2}=r^{2}. Substituindo,
\frac{y^{2}\sin(x)\cos(y)}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{2}\sin^{2}\theta\;\sin(r\cos\theta)\;\cos(r\sin\theta)}{r^{2}}.
Agora cancelar r^{2} no numerador com r^{2} do denominador dá a forma simplificada
f(r,\theta)=\sin^{2}\theta\;\sin(r\cos\theta)\;\cos(r\sin\theta),
válida para r>0.

Passo 4

Analisar o limite quando r\to0^{+}. Observe os fatores:
  • \sin^{2}\theta depende só de \theta (não de r) e satisfaz 0\le \sin^{2}\theta\le1.
  • \cos(r\sin\theta)\to \cos(0)=1 quando r\to0.
  • \sin(r\cos\theta)\to 0 quando r\to0.
Portanto, para cada \theta fixo,
\lim_{r\to0^{+}} f(r,\theta) = \sin^{2}\theta \cdot \lim_{r\to0^{+}}\sin(r\cos\theta)\cdot \lim_{r\to0^{+}}\cos(r\sin\theta) = \sin^{2}\theta \cdot 0 \cdot 1 = 0.
Isso sugere que o limite é 0, independente da direção (valor de \theta).
Para dar um argumento um pouco mais rigoroso e uniforme, podemos usar a desigualdade |\sin u|\le |u| e |\cos v|\le1. Então, a partir da expressão em polares,
|f(r,\theta)| = |\sin^{2}\theta|\;|\sin(r\cos\theta)|\;|\cos(r\sin\theta)| \le 1\cdot | \sin(r\cos\theta)|\cdot 1 \le |r\cos\theta|\le r.
Como r\to0^{+} implica r\to0, a desigualdade |f(r,\theta)|\le r mostra que f(r,\theta)\to0 uniformemente em \theta. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{2}\sin(x)\cos(y)}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 5

Concluir o que é preciso para continuidade: f será contínua em (0,0) se e somente se o valor definido em (0,0) for igual a esse limite. Assim requeremos
a^{2}-4a-5 = 0.
Resolver a equação quadrática. Podemos fatorar:
a^{2}-4a-5 = (a-5)(a+1)=0.
Portanto as soluções são a=5 ou a=-1.

Resposta

a=5
a=-1

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