Com a notação do problema 12, mostre que
é um subgrupo de
.
Passo 1
O enunciado dá (pela notação do problema 12) uma família de aplicações
definidas por
onde
e
. O conjunto
é o grupo dessas aplicações com a operação de composição de funções. Para composição vale a regra
isto é, compor
com
dá a função afim cujo coeficiente linear é
e cujo termo constante é
. O inverso de
em
(quando existe) é
pois essa função satisfaz
.
O subconjunto pedido é
O que se pede: mostrar que
é um subgrupo de
.
Passo 2
Lembrete rápido (definição e estratégia). Para provar que um subconjunto
de um grupo
é subgrupo, basta mostrar (uma das formas padrão):
-
é não vazio (por exemplo contém a identidade), -
é fechado sob a operação do grupo (aqui, composição): se então , -
é fechado sob inversos: se então .
Vou usar exatamente esses três itens. Explico cada passo com calma e um pouco de intuição.
Passo 3
Identidade pertence a
.
A identidade do grupo
é
porque para todo
tem
. Note que o parâmetro
da identidade é
e
. Logo
. Assim
não é vazio e contém a identidade.
Comentário didático: é sempre bom checar a identidade; se ela não estivesse em
já perderíamos a possibilidade de
ser subgrupo.
Passo 4
Fechamento por composição.
Tomemos
. Pela definição de
sabemos que
e
(os
podem ser quaisquer reais;
só impõe condição sobre
). Ao compor as funções, usamos a fórmula dada:
O novo coeficiente multiplicador é
. Como produto de números racionais é racional, tem-se
. Portanto
tem a primeira coordenada racional, logo
.
Comentário didático: fechamentos verificam que a propriedade que define o subconjunto (aqui “
é racional”) é preservada pela operação do grupo. Produto de racionais sempre racional — essa é a chave.
Passo 5
Fechamento por inversos.
Tomemos
. Então
e
. O inverso em
é (como anotado)
Como
e
, o inverso multiplicativo
também é racional, i.e.
. Portanto a função inversa pertence a
. Assim
é fechado por inversos.
Comentário didático: é comum verificar inversos mostrando explicitamente a fórmula. A condição
já está garantida porque estamos dentro de
, que só contém tais afins.
Passo 6
Conclusão.
Já mostramos que
contém a identidade, é fechado pela operação (composição) e é fechado por inversos. Essas três propriedades implicam que
é um subgrupo de
. Portanto a demonstração está completa.
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome
e
em
(os coeficientes
e
são racionais). A composição dá coeficiente
, racional, então a composta está em
. O inverso de
tem coeficiente
, também racional.
Resposta
H é um subgrupo de G.