Com a notação do problema 12, mostre que H:=\left\{f_{a b} \in G \mid a \in \mathbb{Q}\right\} é um subgrupo de G.

Passo 1

O enunciado dá (pela notação do problema 12) uma família de aplicações \,f_{ab}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\, definidas por
f_{ab}(x)=a x + b,
onde a\neq0 e a,b\in\mathbb{R}. O conjunto G é o grupo dessas aplicações com a operação de composição de funções. Para composição vale a regra
f_{ab}\circ f_{cd}=f_{a c,\; a d + b},
isto é, compor f_{ab} com f_{cd} dá a função afim cujo coeficiente linear é a c e cujo termo constante é a d + b. O inverso de f_{ab} em G (quando existe) é
\left(f_{ab}\right)^{-1}=f_{a^{-1},\,-a^{-1}b},
pois essa função satisfaz \left(f_{a^{-1},-a^{-1}b}\right)\circ f_{ab}=\mathrm{id}=f_{1,0}.
O subconjunto pedido é
H:=\{\,f_{ab}\in G \mid a\in\mathbb{Q}\,\}.
O que se pede: mostrar que H é um subgrupo de G.

Passo 2

Lembrete rápido (definição e estratégia). Para provar que um subconjunto H de um grupo G é subgrupo, basta mostrar (uma das formas padrão):
  • H é não vazio (por exemplo contém a identidade),
  • H é fechado sob a operação do grupo (aqui, composição): se u,v\in H então u\circ v\in H,
  • H é fechado sob inversos: se u\in H então u^{-1}\in H.
Vou usar exatamente esses três itens. Explico cada passo com calma e um pouco de intuição.

Passo 3

Identidade pertence a H.
A identidade do grupo G é f_{1,0} porque para todo x tem f_{1,0}(x)=1\cdot x+0=x. Note que o parâmetro a da identidade é 1 e 1\in\mathbb{Q}. Logo f_{1,0}\in H. Assim H não é vazio e contém a identidade.
Comentário didático: é sempre bom checar a identidade; se ela não estivesse em H já perderíamos a possibilidade de H ser subgrupo.

Passo 4

Fechamento por composição.
Tomemos f_{ab},\,f_{cd}\in H. Pela definição de H sabemos que a\in\mathbb{Q} e c\in\mathbb{Q} (os b,d podem ser quaisquer reais; H só impõe condição sobre a). Ao compor as funções, usamos a fórmula dada:
f_{ab}\circ f_{cd}=f_{a c,\; a d + b}.
O novo coeficiente multiplicador é a c. Como produto de números racionais é racional, tem-se a c\in\mathbb{Q}. Portanto f_{ab}\circ f_{cd} tem a primeira coordenada racional, logo f_{ab}\circ f_{cd}\in H.
Comentário didático: fechamentos verificam que a propriedade que define o subconjunto (aqui “ a é racional”) é preservada pela operação do grupo. Produto de racionais sempre racional — essa é a chave.

Passo 5

Fechamento por inversos.
Tomemos f_{ab}\in H. Então a\in\mathbb{Q} e a\neq0. O inverso em G é (como anotado)
\left(f_{ab}\right)^{-1}=f_{a^{-1},\,-a^{-1}b}.
Como a\in\mathbb{Q} e a\neq0, o inverso multiplicativo a^{-1} também é racional, i.e. a^{-1}\in\mathbb{Q}. Portanto a função inversa pertence a H. Assim H é fechado por inversos.
Comentário didático: é comum verificar inversos mostrando explicitamente a fórmula. A condição a\neq0 já está garantida porque estamos dentro de G, que só contém tais afins.

Passo 6

Conclusão.
Já mostramos que H contém a identidade, é fechado pela operação (composição) e é fechado por inversos. Essas três propriedades implicam que H é um subgrupo de G. Portanto a demonstração está completa.
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome f_{2,\pi} e f_{3/2,1} em H (os coeficientes 2 e 3/2 são racionais). A composição dá coeficiente 2\cdot\frac{3}{2}=3, racional, então a composta está em H. O inverso de f_{2,\pi} tem coeficiente 1/2, também racional.

Resposta

H é um subgrupo de G.

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