Seja
um grupo. Mostre que
é abeliano e que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo com exatamente três elementos. Preciso mostrar duas coisas:
- que
é abeliano (ou seja, para todos ); - que
.
Informações explícitas dadas:
-
é um grupo (tem elemento neutro , operação fechada e associativa, e todo elemento tem inverso); - os elementos de
são exatamente , e .
Passo 2
Definição útil: para
, o subconjunto gerado por
é
onde
,
,
, etc. Esse
é um subgrupo de
. O número de elementos de
chama‑se ordem do elemento
, denotada
.
Observação prática (pense como numa prova): os elementos de
são obtidos repetindo multiplicações por
. Como
tem só três elementos, as potências de
só podem tomar valores em
. Portanto existe um inteiro positivo
tal que
(porque, ao multiplicar
repetidamente, alguma potência terá de repetir um valor e daí apareceria uma potência que volta ao neutro). Assim
é bem definida e finita.
Passo 3
Agora uma propriedade essencial (uma versão simples do teorema de Lagrange): para qualquer
o conjunto
é um subgrupo de
e, em particular, o tamanho
divide
. Vou esboçar por que isso é verdade de forma simples:
- Considere as classes laterais (cosets) à esquerda de
: para o coset é . - Esses cosets são disjuntos dois a dois e cobrem
. Cada coset tem o mesmo número de elementos que . - Logo,
. Portanto divide .
Aplicando isso ao nosso caso:
(um número primo). Então as possibilidades para
são divisores de
, isto é, apenas
ou
.
Mas
porque
significaria
, contradizendo que
é um elemento distinto de
. Assim deve ocorrer
Passo 4
Se
então as potências
são três elementos distintos e retornam ao neutro em
:
Como
tem exatamente três elementos, isso força
. Portanto o terceiro elemento
não pode ser novo: tem que ser
. Ou seja,
Passo 5
Agora calculo
usando
:
Aqui usei a regra das potências em um grupo:
.
Passo 6
Mostro que
é abeliano. Já vimos que todo elemento de
é uma potência de
: elementos são
. Tomando quaisquer
temos
Portanto quaisquer dois elementos de
comutam, logo
é abeliano. (Em palavras:
é um grupo cíclico gerado por
, e todo grupo cíclico é comutativo porque as potências somam os expoentes.)
Resposta
G é abeliano.