Seja G=\{e, a, b\} um grupo. Mostre que G é abeliano e que a \cdot b=e.

Passo 1

O enunciado diz que G=\{e,a,b\} é um grupo com exatamente três elementos. Preciso mostrar duas coisas:
  • que G é abeliano (ou seja, x\cdot y = y\cdot x para todos x,y\in G);
  • que a\cdot b = e.
Informações explícitas dadas:
  • G é um grupo (tem elemento neutro e, operação fechada e associativa, e todo elemento tem inverso);
  • os elementos de G são exatamente e, a e b.

Passo 2

Definição útil: para x\in G, o subconjunto gerado por x é
\langle x\rangle = \{x^n \mid n\in\mathbb{Z}\},
onde x^0=e, x^1=x, x^2=x\cdot x, etc. Esse \langle x\rangle é um subgrupo de G. O número de elementos de \langle x\rangle chama‑se ordem do elemento x, denotada \operatorname{ord}(x).
Observação prática (pense como numa prova): os elementos de \langle a\rangle são obtidos repetindo multiplicações por a. Como G tem só três elementos, as potências de a só podem tomar valores em \{e,a,b\}. Portanto existe um inteiro positivo n tal que a^n=e (porque, ao multiplicar a repetidamente, alguma potência terá de repetir um valor e daí apareceria uma potência que volta ao neutro). Assim \operatorname{ord}(a) é bem definida e finita.

Passo 3

Agora uma propriedade essencial (uma versão simples do teorema de Lagrange): para qualquer x\in G o conjunto \langle x\rangle é um subgrupo de G e, em particular, o tamanho |\langle x\rangle| divide |G|. Vou esboçar por que isso é verdade de forma simples:
  • Considere as classes laterais (cosets) à esquerda de \langle x\rangle: para g\in G o coset é g\langle x\rangle=\{g\cdot y : y\in\langle x\rangle\}.
  • Esses cosets são disjuntos dois a dois e cobrem G. Cada coset tem o mesmo número de elementos que \langle x\rangle.
  • Logo, |G| = (\text{número de cosets})\times |\langle x\rangle|ú. Portanto |\langle x\rangle| divide |G|.
Aplicando isso ao nosso caso: |G|=3 (um número primo). Então as possibilidades para |\langle a\rangle|=\operatorname{ord}(a) são divisores de 3, isto é, apenas 1 ou 3.
Mas \operatorname{ord}(a)\neq 1 porque \operatorname{ord}(a)=1 significaria a=e, contradizendo que a é um elemento distinto de e. Assim deve ocorrer
\operatorname{ord}(a)=3.

Passo 4

Se \operatorname{ord}(a)=3 então as potências a^0,a^1,a^2 são três elementos distintos e retornam ao neutro em a^3:
\langle a\rangle = \{a^0,a^1,a^2\}=\{e,a,a^2\}, \qquad a^3=e.
Como G tem exatamente três elementos, isso força \langle a\rangle = G. Portanto o terceiro elemento b não pode ser novo: tem que ser b=a^2. Ou seja,
b = a^2.

Passo 5

Agora calculo a\cdot b usando b=a^2:
a\cdot b = a\cdot a^2 = a^{1+2}=a^3 = e.
Aqui usei a regra das potências em um grupo: a^m\cdot a^n = a^{m+n}.

Passo 6

Mostro que G é abeliano. Já vimos que todo elemento de G é uma potência de a: elementos são a^0,a^1,a^2. Tomando quaisquer i,j\in\{0,1,2\} temos
a^i\cdot a^j = a^{i+j} = a^{j+i} = a^j\cdot a^i.
Portanto quaisquer dois elementos de G comutam, logo G é abeliano. (Em palavras: G é um grupo cíclico gerado por a, e todo grupo cíclico é comutativo porque as potências somam os expoentes.)

Resposta

G é abeliano.
a\cdot b = e

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