Verifique se são subgrupos: \mathbb{S}^{1}:=\left\{a+b i \in \mathbb{C} \mid a^{2}+b^{2}=1\right\}, de \left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto \mathbb{S}^{1}:=\left\{a+b i \in \mathbb{C} \mid a^{2}+b^{2}=1\right\}
é subgrupo do grupo multiplicativo \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right).
Informações dadas:
O conjunto \mathbb{S}^{1} é formado pelos complexos cuja soma dos quadrados das partes real e imaginária é 1, isto é, pelos complexos de módulo 1.
O grupo ambiente é \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right), o conjunto dos complexos não nulos com multiplicação.
O que precisamos decidir: provar ou refutar que \mathbb{S}^{1} é subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right).
Passo 2
Lembrete didático: definição prática de subgrupo que vou usar (teste usual). Um subconjunto H\subseteq G de um grupo G é subgrupo se satisfaz, pelo menos, estas propriedades:
H não é vazio (ou contém a identidade de G);
H é fechado sob a operação de G (se x,y\in H então xy\in H);
todo elemento de H tem inverso em H (se x\in H então x^{-1}\in H).
Também existe o teste equivalente mais curto: se H\neq\varnothing e para todo x,y\in H vale x y^{-1}\in H, então H é subgrupo. Vou verificar as propriedades explicando cada passo com calma.
Passo 3
Verificar identidade / não vazio. A identidade do grupo \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right) é 1+0i. Verifico se 1\in\mathbb{S}^{1}:
1^{2}+0^{2}=1,
logo 1\in\mathbb{S}^{1}. Portanto \mathbb{S}^{1} não é vazio e já contém a identidade. (Bom sinal!)
Passo 4
Fechamento por multiplicação — ideia geral. Quero mostrar que se z_{1},z_{2}\in\mathbb{S}^{1} então z_{1}z_{2}\in\mathbb{S}^{1}. Uma forma eficiente é usar o módulo: para z\in\mathbb{C} define-se o módulo por |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} se z=a+bi. Pelo enunciado, z\in\mathbb{S}^{1} equivale a |z|=1.
Propriedade útil (que posso justificar rapidamente): para quaisquer z,w\in\mathbb{C} vale
|zw|=|z|\,|w|.
Uma demonstração curta dessa identidade usa conjugado: |z|^{2}=z\overline{z} e \overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}, logo
que também mostra diretamente que o produto tem módulo 1.)
Passo 5
Fechamento por inversos — mostrar que o inverso multiplicativo de qualquer elemento de \mathbb{S}^{1} também pertence a \mathbb{S}^{1}. Seja z=a+bi\in\mathbb{S}^{1}, então a^{2}+b^{2}=1, ou seja |z|^{2}=1. A fórmula geral do inverso (em \mathbb{C}^{*}) é
z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}.
Como aqui |z|^{2}=1, segue que
z^{-1}=\overline{z}.
O conjugado \overline{z}=a-bi tem módulo |\overline{z}|=|z|=1, logo \overline{z}\in\mathbb{S}^{1}. Assim z^{-1}\in\mathbb{S}^{1}. Portanto todo elemento de \mathbb{S}^{1} tem seu inverso também em \mathbb{S}^{1}.
Passo 6
Conclusão final e observações. Já verificamos:
identidade 1\in\mathbb{S}^{1};
fechamento: produto de dois elementos de \mathbb{S}^{1} fica em \mathbb{S}^{1};
inversos: inverso de elemento de \mathbb{S}^{1} pertence a \mathbb{S}^{1}.
Associatividade não precisa ser verificada separadamente porque é herdada de \mathbb{C}^{*}. Portanto \mathbb{S}^{1} satisfaz as condições de subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right). Para intuição rápida: \mathbb{S}^{1} é o círculo unitário no plano complexo e corresponde aos números e^{i\theta}, fechados sob multiplicação (que soma os ângulos).
Resposta
Sim. \mathbb{S}^{1} é subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right).