Verifique se são subgrupos:
\mathbb{S}^{1}:=\left\{a+b i \in \mathbb{C} \mid a^{2}+b^{2}=1\right\}, de \left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\mathbb{S}^{1}:=\left\{a+b i \in \mathbb{C} \mid a^{2}+b^{2}=1\right\}
é subgrupo do grupo multiplicativo \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right).
Informações dadas:
  • O conjunto \mathbb{S}^{1} é formado pelos complexos cuja soma dos quadrados das partes real e imaginária é 1, isto é, pelos complexos de módulo 1.
  • O grupo ambiente é \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right), o conjunto dos complexos não nulos com multiplicação.
O que precisamos decidir: provar ou refutar que \mathbb{S}^{1} é subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right).

Passo 2

Lembrete didático: definição prática de subgrupo que vou usar (teste usual). Um subconjunto H\subseteq G de um grupo G é subgrupo se satisfaz, pelo menos, estas propriedades:
  1. H não é vazio (ou contém a identidade de G);
  2. H é fechado sob a operação de G (se x,y\in H então xy\in H);
  3. todo elemento de H tem inverso em H (se x\in H então x^{-1}\in H).
Também existe o teste equivalente mais curto: se H\neq\varnothing e para todo x,y\in H vale x y^{-1}\in H, então H é subgrupo. Vou verificar as propriedades explicando cada passo com calma.

Passo 3

Verificar identidade / não vazio. A identidade do grupo \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right) é 1+0i. Verifico se 1\in\mathbb{S}^{1}:
1^{2}+0^{2}=1,
logo 1\in\mathbb{S}^{1}. Portanto \mathbb{S}^{1} não é vazio e já contém a identidade. (Bom sinal!)

Passo 4

Fechamento por multiplicação — ideia geral. Quero mostrar que se z_{1},z_{2}\in\mathbb{S}^{1} então z_{1}z_{2}\in\mathbb{S}^{1}. Uma forma eficiente é usar o módulo: para z\in\mathbb{C} define-se o módulo por |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} se z=a+bi. Pelo enunciado, z\in\mathbb{S}^{1} equivale a |z|=1.
Propriedade útil (que posso justificar rapidamente): para quaisquer z,w\in\mathbb{C} vale
|zw|=|z|\,|w|.
Uma demonstração curta dessa identidade usa conjugado: |z|^{2}=z\overline{z} e \overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}, logo
|zw|^{2}=(zw)\overline{(zw)}=zw\,\overline{z}\,\overline{w}=(z\overline{z})(w\overline{w})=|z|^{2}|w|^{2},
tomando raízes positivas obtemos |zw|=|z|\,|w|.
Agora aplico ao caso específico: se z_{1},z_{2}\in\mathbb{S}^{1} então |z_{1}|=|z_{2}|=1. Assim
|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|=1\cdot 1=1.
Portanto z_{1}z_{2}\in\mathbb{S}^{1}. Conclusão: \mathbb{S}^{1} é fechado sob multiplicação.
(Para quem curte trig: se escrever z_{1}=\cos\theta+i\sin\theta e z_{2}=\cos\varphi+i\sin\varphi, então
z_{1}z_{2}=\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi),
que também mostra diretamente que o produto tem módulo 1.)

Passo 5

Fechamento por inversos — mostrar que o inverso multiplicativo de qualquer elemento de \mathbb{S}^{1} também pertence a \mathbb{S}^{1}. Seja z=a+bi\in\mathbb{S}^{1}, então a^{2}+b^{2}=1, ou seja |z|^{2}=1. A fórmula geral do inverso (em \mathbb{C}^{*}) é
z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}.
Como aqui |z|^{2}=1, segue que
z^{-1}=\overline{z}.
O conjugado \overline{z}=a-bi tem módulo |\overline{z}|=|z|=1, logo \overline{z}\in\mathbb{S}^{1}. Assim z^{-1}\in\mathbb{S}^{1}. Portanto todo elemento de \mathbb{S}^{1} tem seu inverso também em \mathbb{S}^{1}.

Passo 6

Conclusão final e observações. Já verificamos:
  • identidade 1\in\mathbb{S}^{1};
  • fechamento: produto de dois elementos de \mathbb{S}^{1} fica em \mathbb{S}^{1};
  • inversos: inverso de elemento de \mathbb{S}^{1} pertence a \mathbb{S}^{1}.
Associatividade não precisa ser verificada separadamente porque é herdada de \mathbb{C}^{*}. Portanto \mathbb{S}^{1} satisfaz as condições de subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right). Para intuição rápida: \mathbb{S}^{1} é o círculo unitário no plano complexo e corresponde aos números e^{i\theta}, fechados sob multiplicação (que soma os ângulos).

Resposta

Sim. \mathbb{S}^{1} é subgrupo de \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right).

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